Vectores

Tema 1 Funciones de Varias Variables. L´ ımites y Continuidad
1.1 Introducci´n al espacio IRn . o

El objetivo de este tema es definir el concepto de l´ ımite de una funci´n de varias variables. o Intuitivamente, se podr´ hacer as´ “Sea f : IRn −→ IRm ,a ∈ IRn , b ∈ IRm decimos que ıa ı: lim f (x) = b cuando basta tomar valores de x suficientemente pr´ximos al punto a o x→a para conseguir que f(x) est´ tan cerca de b como queramos”. e Necesitamos definir, pues, el concepto de proximidad en IRn . Definici´n 1.1 Definimos el conjunto IRn como el conjunto de las n-uplas de n´meros o u reales, es decir IRn ≡ {(x1 , x2 , · · · , xn ) / xi ∈ IR} IR se representa geom´tricamente como los puntos de una recta e

0

1

1

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2IR2 se representa como los puntos de un plano.
Y (a,b) -b T - - - - - -• E X

0 IR3 como los puntos del espacio.

a

- - - - · •
  0

Z T c · - - - - ·· ·· ·· ··· (a,b,c) ··· · · E Y

  © X 

  a

·· b ··· - - - - ···

A partir de IR3 es imposible representarlo geom´tricamente. e A cada punto de IRn se le asocia el vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y suextremo en dicho punto, llamado vector de posici´n. o A la base formada por los vectores {(1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , (0, 0, · · · , 0, 1)} se le llama base can´nica. o Teorema 1.1 IRn con las operaciones suma de vectores y producto de vectores por escalares, tiene estructura de espacio vectorial. Dicho de otra forma (IRn , +, ·IR ) es un e.v.

1.1.1

Producto escalarDefinici´n 1.2 Se define el producto escalar de 2 vectores en IRn , a = (a1 , a2 , · · · , an ) y o b = (b1 , b2 , · · · , bn ) (respecto de la base can´nica) como o
n

a·b=
i=1

ai · bi

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Propiedades El producto escalar verifica las siguientes propiedades: 1 a·a≥0 2 a·a=0 ⇔ a=0

•

• (α · a) · b = α · (a · b) = a · (α · b)• a · (b + c) = a · b + a · c • a·b=b·a

1.1.2

Norma eucl´ ıdea

Es el equivalente al valor absoluto en IR. Definici´n 1.3 Se define la norma eucl´dea de un vector x ∈ IRn como o ı √ x = + x · x = + x2 + x2 + · · · + x2 1 2 n Propiedades La norma verifica las siguientes propiedades: • |x · y| ≤ x · y (Desigualdad de Cauchy-Swartz).

• x+y ≤ x + y • α · x = |α| · x • x ≥0, x =0 ⇔ x=0

Ahorapodemos definir la distancia entre dos puntos como la norma de la diferencia de los vectores que los determinan. Definici´n 1.4 Dados dos puntos A y B de IRn determinados por los vectores de o posici´n a y b , definimos la distancia entre ellos de la siguiente manera o d(A, B) = a − b

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1.2

Funciones de varias variables.Geometr´ de las ıa funciones con valores reales.

Hasta ahora hemos estudiado, el curso anterior, las funciones reales de una variable real, es decir, las aplicaciones f : A ⊂ IR −→ B ⊂ IR. En este cap´ ıtulo estudiaremos funciones f : IRn −→ IRm , que en el caso n = m = 1 coinciden con las ya mencionadas funciones reales de una variable real. Definici´n 1.5 LLamamos funci´n vectorial de una variablereal a una funci´n o o o f : IR −→ IRm , m > 1 Definici´n 1.6 Se llama campo escalar a una funci´n f : IRn −→ IR o o Ejemplo La funci´n que a cada punto del espacio le asocia su temperatura es un campo o escalar. Definici´n 1.7 Se llama campo vectorial a una funci´n f : IRn −→ IRm , m > 1 o o Ejemplo La funci´n que a cada punto del plano le asocia la velocidad del viento en ese o punto. Ladiferencia entre ambos campos es su conjunto imagen. Si ´ste es num´rico (escalar), e e ser´ un campo escalar; en caso contrario ser´ un campo vectorial. a a Tanto en un caso como en otro y, en general, si el dominio de definici´n de f es un o subconjunto A ⊂ IRn , n > 1 , decimos que f es una funci´n de varias variables. o Notaci´n Usaremos la notaci´n o o f : IRn −→IRm x −→ y A fi donde x = (x1 , x2...