Vectores

VECTORES EN NÚMEROS REALES
Clausura:
Adición: (a + b ∈ R)
v + w = z
(v1,v2,v3) + (w1,w2,w3) = z
(v1+w1,v2+w2,v3+w3)= z
Si z = ((v1+w1),(v2+w2),(v3+w3)) equivale a unvector.
Q.E.D

Multiplicación: (a ∙ b ∈ R)
v ∙ w = z
(v1,v2,v3) ∙w1,w2,w3= z
v1w1,v2w2,v3w3= z
Q.E.D.

Asociatividad:
Adición: (a + (b + c) = (a + b) + c)
(v + (w + z) = (v +w) + z)
(v1,v2,v3 + (w1,w2,w3 + z1,z2,z3) = (v1,v2,v3 +w1w2w3) + z1,z2,z3)
(v1,v2,v3 + (w1+z1,w2+z2,w3+z3) = (v1+w1,v2+w2,v3+w3) + z1,z2,z3)
(v1+w1+z1,v2+w2+z2,v3+w3+z3) =(v1+w1+z1,v2+w2+z2,v3+w3+z3)
Q.E.D.

Multiplicación: (a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c)
(v ∙ (w ∙ z) = (v ∙ w) ∙ z)
v1,v2,v3 ∙w1,w2,w3 ∙z1,z2,z3=v1,v2,v3 ∙w1,w2,w3∙z1,z2,z3
v1,v2,v3 ∙w1z1,w2z2,w3z3=v1w1,v2w2,v3w3∙z1,z2,z3v1w1z1,v2w2z2,v3w3z3=(v1w1z1,v2w2z2,v3w3z3)
Q.E.D.

Neutro:
Adición: (0 + a = a + 0 = a)
v + 0 = v
v1,v2,v3+ 0=v1,v2,v3
(v1+0,v2+0,v3+0)=v1,v2,v3
v1,v2,v3=(v1,v2,v3)
Q.E.D.Multiplicación: (1 ∙ a = a ∙ 1 = a)
1 ∙ v = v
1∙v1,v2,v3=(v1,v2,v3)
v1,v2,v3=(v1,v2,v3)
Q.E.D.

Inverso:
Adición: (a + (-a) = (-a) + a = 0)
v + (-v) = 0
v1,v2,v3+-v1,-v2,-v3=0
0=0
0=0
Q.E.D.

Multiplicación: (a ∙ a-1 = a-1 ∙ a = 1)
v ∙ (-v) = 1
v1,v2,∙1v1,1v2,=1
v11v1,v21v1,v21v2,v21v2,= 1
Q.E.D.

Conmutatividad:
Adición: (a + b) = (b + a)
v + w = w + v
v1,v2,v3+w1,w2,w3=w1,w2,w3+(v1,v2,v3)
v1+w1,v2+w2,v3+w3=v1+w1,v2+w2,v3+w3
Q.E.D.

Multiplicación: (a ∙ b = b ∙ a)
v ∙ w = w ∙ v
v1,v2,v3∙w1,w2,w3=w1,w2,w3∙(v1,v2,v3)
v1w1,v2w2,v3w3=(v1w1,v2w2,v3w3)Q.E.D.

Distributividad:
Adición: (αa+b= αa+ αb)
α(v + w) = αv + αw
αv1,v2,v3+w1,w2,w3=αv1,v2,v3+α(w1,w2,w3)
(αv1,αv2,αv3)+(αw1,αv2,αv3)=αv1,αv2,αv3+ αw1,αw2,αw3αv1+αw1,αv2+αw2,αv3+αw3=αv1+αw1,αv2+αw2,αv3+αw3
Q.E.D.

- La Estructura de Campo o Cuerpo es que se cumplan las propiedades de los Vectores en Números Reales.
Por lo que podemos concluir que al comprobarse todas las...