Vectores

VECTORES
Las magnitudes físicas con las que trataremos en el curso pueden ser escalares o vectoriales. Las magnitudes físicas escalares quedan completamente definidas mediante un número y sus respectivas unidades de medida, por ejemplo la densidad del agua de 1 gr/cm3 o la temperatura del aire de 20º C, son un escalar. Para las magnitudes físicas vectoriales debe especificarse su magnitud (unnúmero con sus unidades), su dirección (un número que puede ser un ángulosi el espacio es bi o tridimensional) y su sentido (que indica hacia adondese dirige o apunta el vector), por ejemplo una velocidad de 80 km/h hacia elnoreste. Un vector se representa gráficamente como un trazo dirigido (flecha) y se simboliza mediante letras mayúsculas o minúsculas, con una flecha sobre la letra o escrita ennegrita, . La longitud de la flecha indica la magnitud relativa del vector, el punto desde donde se comienza a dibujar el vector se llama punto de aplicación, la dirección se mide desde algún eje de referencia, generalmente horizontal, el sentido esta dado por la punta de la flecha y la recta sobre la cual se ubica el vector se llama línea de acción. En la figura el vector A tiene magnitud A, supunto de aplicación es O y su dirección es α grados sobre la horizontal.

Igualdad de vectores.
Dos o más vectores son iguales si: a) apuntan en la misma dirección, b) si sus magnitudes son iguales. En la figura independientemente de la ubicación de los vectores en el espacio.

Multiplicación de un vector por un escalar.
El resultado de multiplicar un vector por un escalar λ es un vector, demagnitud distinta y de dirección igual (o contraria) al vector original. En la figura se muestra que

Vectores especiales.
Vector nulo: es un vector de magnitud igual a cero (0).
Vector unitario: vector de magnitud igual a uno (1).
Adición de vectores y algunas de sus propiedades.
Los vectores se pueden sumar en forma geométrica por diversos métodos, tales como los que se muestran en lafigura a) el método del polígono o b) el método del paralelogramo.

a) Método del polígono, b) método del paralelogramo.
Además los vectores cumplen con las siguientes propiedades del álgebra:
• Conmutatividad de la suma: a + b = a + b.
• Asociatividad de la suma: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
• Distributividad de la multiplicación por un escalar en la suma de vectores.
•Conmutatividad del producto: a · b = b · a , a · a = a2.
• Asociatividad del producto: a · ( b + c) = a · b +a · c
• Inverso aditivo: si a + b = 0, entonces b es el inverso aditivo de a y se escribe
b = -a.
• La resta de vectores es un caso especial de adición, donde el vector restando se suma con su inverso aditivo: a - b = a +(- b).
• La división entre vectores no está definida.
Representación delos vectores en coordenadas cartesianas.
Las componentes vectoriales de un vector son aquellas que sumadas dan como resultado el vector original. Las componentes vectoriales de un vector en el espacio se calculan a lo largo de un conjunto de 3 líneas mutuamente perpendiculares que se cortan en un mismo punto, es decir en líneas paralelas a los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano. Losvectores unitarios y las componentes vectoriales del vector A en estas direcciones se designan pory por Ax, Ay, Az, respectivamente, tal que:

En el plano (x, y) de la figura, se tiene

Igualdad de vectores en componentes.
Dos vectores son iguales si todas sus componentes son iguales, esto es, A = B si Ax = Bx, Ay = By y Az = Bz.. Dos vectores son iguales si todas sus componentes son iguales, estoes, A = B si Ax = Bx, Ay = By y Az = Bz.
Suma, resta y multiplicación por un escalar.
Se opera sobre las componentes escalares análogas de los vectores. Para el caso tridimensional se realizan tres operaciones escalares por cada operación vectorial, como se indica, donde λ representa un escalar:

Producto escalar entre vectores.
El producto escalar entre vectores da como resultado un...