Vectores

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL DE ARAGUA

“FEDERICO BRITO FIGUEROA”

LA VICTORIA .EDO ARAGUA




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Autores:
Félix Vásquez
Luis Condat José



LA VICTORIA, MARZO DE 2012

C O N T E N I D O S


(V E C T O R E S)

-Operaciones con vectores: Adición,multiplicación por escalar, producto vectorial,
-norma de un vector
-vectores en el espacio
-Espacio vectorial
-sub espacio vectorial
-Bases y dimensión
-Bases ortogonales
-Coordenadas





O B J E T I V O T E R M I N A L


Al finalizar la unidad el estudiante deberá mediante resolución de problemas, demostrar habilidad en el manejo devectores tanto gráfica como analíticamente.






VECTORES











“P” Es el ORIGEN del vector.
“Q” Es el EXTREMO del vector.
║PQ║ Es la LONGITUD del vector y se denomina MODULO o NORMA.


Dos puntos en el espacio determinan un vector.

COMPONENTES DE UN VECTOR

El vector PQ, de la figura anterior se determina:
PQ = (x1 –x, y1,z1-z)
Donde x1-x , y1-y , z1-z son las componentes del vector.
Si dos o más vectores tienen iguales componentes, serán equivalentes. El vector Nulo tiene sus componentes iguales a cero. Dos vectores opuestos tienen sus respectivas componentes opuestas.


OPERACIONES CON VECTORES


ADICION: Sean V = (x1, y1, z1) y W = ( x2 , y2, z2 ) Así
V + W =(x1 +x2, y1 +y2, z1 + z2)

PROPIEDADES: Sean V, W y Z vectores
i) V + W = W + V

ii) V + (W + Z) = (V +W) + Z

iii) V +O = O + V O = ( O, O, O ) Vector nulo. Es el Neutro.

iv) V + (-V ) = (-V ) + V = O El vector opuesto. Es el simétrico.



EJEMPLO: Sean los puntos P((-1, 3/2, 3); Q (7, -5, 0) y R (1/3, 1, 1)

Así PQ = (8,-13/2, -3) y PR = (4/3, ½,-2) luego PQ + PR = (28/3, -6, -5)


PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Sean V = (X, Y, Z) un vector y α εR. Así α V = (α x, α y, α z)

PROPIEDADES: Sean los vectores V y W y los escalares.
i) α (V+W) = α V + α W
ii) (α + β ) V = α V + β V.
iii) α (βV) = (α.β) V
iv) 1.V = V


Demostraremos i) Sean V= ( x1, y1, z1) y W = (x2, y2, z2)(V+W) = α [( x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) ]
= α (x1 + x2, y1 + y2 , z1 + z2) def. de adición
= [ α (x1 + x2), α (y1 + y2) , α (z1 + z2)] def. del
producto de un escalar por un vector.


= ( α x1 , + α x2 , α y1 + α y2 , α z1 + α z 2) Distributiva
de la multiplicación respecto a la adición.


= ( α x1, α y1 , α z1) + ( α x 2 ,α y2, α z2 ) Def de adición= α ( x1, y1, z1) + α ( x2, y2, z2 )
= α V + α W



La demostración de las propiedades : ii, iii, y iv se dejan de ejercicios al alumno.







INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Sea V un vector


V V





α V
α V α > 1-1 < α < 0




El conjunto de todos los vectores del espacio con las operaciones: adición y la multiplicación de un escalar por un vector y sus respectivas propiedades se denomina espacio vectorial V3.


COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES


dado un conjunto finito de vectores { V1 , V2,...Vp} , se dice que U es una combinación lineal de esos vectores, si existen escalares α 1 , α 2,.... α P tales que
U = α 1 V1 + α 2 V 2 + ... + α P V P

Así U = -5V + 3W, diremos que u es combinación lineal de V y W


Si U = 4/3 V, entonces U es combinación lineal de V.

EJEMPLO : El vector U = ( 2, -7, -5 ) es combinación lineal de los vectores V = (...