Vectores

7

VECTORES

P ágina 172
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Multiplica vectores por números
I

;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;

Copia en un papel cuadriculado los siguientes vectores:

→

a

→

c

→

d

→

b

Representa:

→

→

a) 2 a

b) 5 b

c)

1→
c
3

→

→

→

→

Expresa el vector d como producto de uno de los vectores a , b o c por un
número.Designa los vectores anteriores mediante pares de números. Por ejemplo:
→
a (2, 3).
Repite con pares de números las operaciones que has efectuado anteriormente.
→

I

→

• d = –2,5 b =
→

→

1/3 c

–5 →
b
2

• a (2, 3)
→

b (–2, –2)

→

2a

→

c (3, 0)

→

5b

→

d (5, 5)

→

→

d = –5/2 b

→

• 2 a = 2 (2, 3) = (4, 6)
→

5b = 5 (–2, –2) =(–10, –10)
1→ 1
c = (3, 0) = (1, 0)
3
3

Unidad 7. Vectores

1

P ágina 173
Suma de vectores
I

Efectúa gráficamente:
→

→

→

a) a + c

→

→

b) b + c
→→

→

→

c) b + a

→

→

d) a + b + c

→

siendo a, b y c los del ejercicio anterior.
Realiza las mismas sumas con pares de números. Por ejemplo:
→

→

a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)

→

→

→→

→

→

→

I

→

a) a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)
b) b + c = (–2, –2) + (3, 0) = (1, –2)
c) b + a = (–2, –2) + (2, 3) = (0, 1)
→

d) a + b + c = (2, 3) + (–2, –2) + (3, 0) = (3, 1)
→

c

a)

b)

→

a

→

→

→

b

→

→

c)
a

→

a+c

→

→

b+c

→

→

b

→

→

a

→

c

→

b

c

d)

→

b+a

→

a+b+c

Combinaoperaciones
I
→

u

→

v

→

w

→

→

→

Con los vectores u, v y w efectúa las siguientes operaciones gráficamente y
mediante pares de números:
→

→

→

a) 2 u + 3 v

→

b) – v + 5w

→

→

→

c) 2 u + 3 v – 4w

¿Cómo designarías al vector resultante de esta última operación?
→

→

→

→

→

I

→

a) 2 u + 3v = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) = (6, 2) +(6, – 6) = (12, – 4)
b) –v + 5 w = – (2, –2) + 5 (3, –1) = (–2, 2) + (15, –5) = (13, –3)
→

c) 2u + 3v – 4w = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) – 4 (3, –1) = (6, 2) + (6, – 6) + (–12, 4) = (0, 0)
→

Vector nulo: 0

Unidad 7. Vectores

2

a)

b)

→

2u

→

→

→

→

–v

3v

5w
→

→

c)

→

–v + 5w

2u + 3v

→

2u

→

3v
→

–4w

P ágina 177
→

→

1. Siu (–2, 5) y v (1, –4) son las coordenadas de dos vectores respecto de una
base, halla las coordenadas respecto de la misma base de:
→

→

→

a) 2 u + v
→

→

→

b) u – v

c) 3 u +

1→
v
3

d) –

1→
→
u – 2v
2

→

a) 2u + v = 2 (–2, 5) + (1, – 4) = (– 4, 10) + (1, – 4) = (–3, 6)
→

→

b) u – v = (–2, 5) – (1, – 4) = (–2, 5) + (–1, 4) = (–3, 9)

)(
)
1
1–5
11
d) – u – 2v = – (–2, 5) – 2 (1, – 4) = (1,
+ (–2, 8) = (–1,
2
2
2)
2)
→

c) 3u +

→

(

1→
1
1 –4
–17 41
v = 3 (–2, 5) +
(1, – 4) = (– 6, 15) +
,
=
,
3
3
33
3
3
→

Página 178
1. Demuestra las propiedades 1, 3, 5 y 8.
→

→
→→
→
→
→→
• Propiedad 1: Si u = 0 ⇒ u · v = u v  cos (u, v ) =
→

→
→→
= 0 v  cos (u, v ) =
→
→→
= 0 ·  v  cos (u, v) = 0
→

→

Si v = 0 ⇒ se demuestra de forma análoga
→

→
→
Como: u ≠ 0 ⇒ u ≠ 0
→

→

→
v ≠ 0 ⇒ v ≠ 0
→→

→→









→→
→
→
→→
• Propiedad 3: Si u · v = 0 ⇒ u v cos (u, v ) = 0

→

→

Tiene que ser cos (u, v) = 0 ⇒ u, v = 90° ⇒ v ⊥ u
Unidad 7. Vectores

3

(*)

→→
→
→
→→
→→
→→
→→
• Propiedad 5: u · v = u v cos (u, v ) = vucos (v, u) = v · u
(*)

pues cos α = cos (– α)
→→

• Propiedad 8: Si B (x, y ) es una base ortonormal →
→

→

→→

→ x ⊥ y → por la propiedad 2: x · y = 0 →
→→

→→

→ por la propiedad 5: x · y = y · x = 0
→→

→

→

→

→

→→

→

→

→

→

Además: x · x =  x  x cos 0° =  x  x · 1 = 1
y · y =  y  y cos 0° =  y  y · 1 = 1
→

→

pues...