vectores

Unidad 06
Vectores

Ing. Ana E. Kronawetter E.

1

Definición
Es una magnitud cuya determinación exige el
conocimiento de un módulo, una dirección y un sentido, O
es el punto de aplicación y P es el extremo.
Su representación es:

OP

r
= X

Ejemplos: Velocidad, aceleración, fuerza, etc

r
X

P

O
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2

r r
Vectores equipolentes: Dosvectores A y B son

equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección e
idéntico sentido.

r
r
Vectores iguales: Dos vectores A y B son iguales si tienen
igual módulo y dirección, idéntico sentido y el mismo punto
de aplicación.
Tanto en equipolencia como r igualdad entre los vectores
en r
dados la representación en A = B

r
A

r
B

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3Vector nulo: Todos los segmentos nulos definen un único
r
vector llamado vector nulo y se representa por O
r
r
Vector opuesto: Dado un vector A el vector opuesto − A
es el que tiene el mismo módulo y dirección pero sentido
contrario
r
r
A
−A

r
Vector unitario: Es aquel cuyo módulo vale 1 o sea v
unitario si

r
v =1

es

Versor: de un vector no nulo es el vector unitario con lamisma dirección y sentido que este.
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4

r
r
Vectores colineales: Dos vectores A y B son colineales si
tienen la misma dirección (pertenecen a la misma recta o a
rectas paralelas)

r
A

r
B

r
B

r
A

Vectores coplanares: Son los vectores que se encuentran en
un mismo plano

r
B

r
B
r
A

π

r
A

r
B

π

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r
r C
A

r
D

π
5

Suma de vectores
r r
Sean los vectores u y v representados por los segmentos

orientados AB y CD. Llamaremos suma al vector que resulte
de unir el origen del primero con el extremo del último

r
u
A

B

C

r
v

r
u

D

A

BC

r
v
r
s

D

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r r r
s =u +v

6

Propiedades de la suma:
r r r r
•Conmutativa: u + v = v + u
• Asociativa:

r r r r r r
(u + v ) + w = u + (v + w)

r
r
• Existe el vector nulo O tal que para todo vector v se tiene:
r r r r r
O + v = vr+ O = v

r
• Cualquier sea el vector v , existe un solo vector − v
(opuesto de v) tal que:

r
r
r r r
v + ( −v ) = −v + v = O
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7

Diferencia de vectores
r r
Sean los vectores u yv la diferencia se representa por
r r r
d = u −v
r
r
y es el vector que resulta de sumar u con el opuesto de v , o
r
sea
−v r
r r
r r
r
v
d u
d = u + ( −v )

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8

La suma se puede representar por la diagonal
mayor del paralelogramo que se define con los
vectores dados y la resta por la diagonal menor de
dicho figura

r
u
r
v

r
s

r
u
rv

r
d

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Multiplicación de un vector por un Número Real

r
Dado v ≠ 0 y un número real k ≠ 0 , elrproducto de un
r
número real por un vector es otro vector p = kv tal que:

r
r
r
p es p = k v
a) módulo de
r
r
p tiene la misma dirección que v
b)
r
c) p tiene el mismo sentido si k 〉 0 y sentido contrario si k 〈 0
r
r r 1 v
r
Resulta queel versor de v ≠ 0 es: u = v . r = r
v
v
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10

Propiedades de la multiplicación de un vector por un
número real

r
r
Si u y v son vectores y a y b son números reales
r
r
• Asociativa: a(b v) = (ab) v
• Distributiva (en la suma de escalares)
r
r
r
v+ b v
(a+b) v = a
• Distributiva (en la suma de vectores)
r r
r
r
a( u + v ) = a u+ a v
r
r
•Identidad 1 v = v

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Ángulo entre dos vectores
Es el ángulo formado por las rectas que los contienen

r
u

θr
v

• Tienen la misma dirección pero sentido contrario
θ =π

r
u

r
v

• Tienen la misma dirección y el mismo sentido r
u
θ = 0º
r
v
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12

• Son ortogonales : Para este caso se puede aplicar Pitágoras...