Vectores

Magnitudes vectoriales

MAGNITUDES VECTORIALES:

Índice

1

Magnitudes escalares y vectoriales

2

Suma de vectores libres

2

Producto de un escalar por un vector

3

Sistema de coordenadas vectoriales. Vectores unitarios

3

Módulo de un vector. Teorema de los cosenos directores 4
Producto escalar de dos vectores

5

Consecuencias del producto escalar

5Producto vectorial

6

Momento de un vector respecto a un punto

6

Momento de un vector respecto a un eje

7

Producto triple de tres vectores

7

Derivada de un vector respecto a un escalar

7

Integración vectorial

8

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MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
Las magnitudes escalaresquedan perfectamente definidas por un número y las
unidades correspondientes. Por ejemplo una temperatura (15ºC)
Las magnitudes vectoriales precisan además de un valor
Sentido

Módulo

numérico (módulo), una dirección, un sentido y un punto
de aplicación.

Dirección

La expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial es un ente
matemático que recibe el nombre devector y que se puede definir como un
segmento orientado en el que hay que distinguir:
- Módulo: longitud del segmento AB.
- Dirección: recta que lo contiene (e).
- Sentido: dado por el orden A B, (punta de flecha).
- Punto de aplicación A.
r
r
Se representa por v o v. El módulo poniendo el vector entre barras | v |.

Tipos de vectores:
•

Libres producen el mismo efecto cuando (siendosu módulo y sentido iguales)
se desplazan paralelamente a si mismos.

•

Deslizantes solo pueden variar su punto de aplicación a lo largo de su
dirección.

•

Ligados o fijos.

SUMA DE VECTORES LIBRES.
r
R

r
Gráficamente Se aplica la regla del paralelogramo. Se hacen a

coincidir los puntos de aplicación de ambos vectores y se

r
b

construyen trazando paralelas por losextremos de cada vector,
un paralelogramo. El segmento, que une en este orden, los puntos de aplicación con
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el vértice opuesto del paralelogramo es el vector resultante de la suma.
También se puede obtener la suma haciendo coincidir el punto de aplicación del
r
b
segundo vector con el extremodel primero y uniendo el
r
a
r
c punto de aplicación del primero con el extremo del vector
r
R

paralelo al segundo .

La diferencia entre dos vectores se puede ver fácilmente que se

r
d

r
a

obtiene uniendo el extremo del sustraendo con el extremo del
minuendo pues:

r
b

r
rr
r
s + ( r -s ) = r

Es importante ver la aplicación que tiene esto a la descomposición de unvector en sus componentes en direcciones adecuadas para resolver un
problema. Por ejemplo el peso que actua sobre la lenteja del péndulo se
puede descomponer en una componente tangencial y otra componente
normal a la trayectoria.

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.

Es otro vector cuya dirección coincide con la del primer vector, módulo viene
r
r
multiplicado por el escalar ( |n· v| = n·| v | ) y su sentido es el del vector si n > 0 y el
contrario si n < 0.

SISTEMA DE COORDENADAS VECTORIALES. VECTORES UNITARIOS.
En muchas ocasiones debemos referirnos siempre a unas

Z

coordenadas. En una palabra, estamos adoptando un

rr
vz v

sistema de referencia. El más usual está formado por tres

γ

ejes (X,Y,Z) que se cortan perpendicularmente en el origen
decoordenadas. Cualquier punto del espacio se define
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rβ α
vy r

vx

Y

X

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ahora por un vector de posición que, con punto de aplicación en el origen, llega hasta
el punto considerado.

Sea ahora el vector

de la figura. Como se ve se puede descomponer en tres
r
vectores cuya suma sea igual...