vectores

 un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se lesllama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Espacios Vectoriales:
Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.
Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedadesde un espacio n-dimensional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.


Representación artística de un espacio vectorial. Un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación (ver espacio vectorial). En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo.
Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudesvectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de unobjeto.

Definición y propiedades
Escalares de espacios vectoriales
Un espacio vectorial se define como un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y una operación de producto escalar que lleva a que un escalar k y un vector v dé un nuevo vector kv. Por ejemplo, en un espacio de coordenadas, el producto escalar k(v1,v2,...,vn) da (kv1,kv2,...,kvn). En una función (lineal) en elespacio, kf es la función x  k(f(x)).
Los escalares se pueden tomar de cualquier campo, incluyendo los números racionales, algebraicos, reales y complejos, así como campos finitos.
Escalares como componentes vectoriales
De acuerdo con el teorema fundamental del álgebra lineal, cada espacio vectorial tiene una base. Se deduce que cada espacio vectorial sobre un campo escalar K es isomorfo a un espaciovectorial de coordenadas, donde las coordenadas son elementos de K. Por ejemplo, cada espacio vectorial real de dimensión n es isomorfo al espacio real de n dimensiones Rn.

Base (álgebra)


Base estándar en el plano cartesiano.
En álgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:
Todos los elementos de B pertenecenal espacio vectorial V.
Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente.
Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador de V).

Base de un espacio vectorial
Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito o infinito)B ={vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la base
a1vi1 + a2vi2 +... + anvin,
donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La nominalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de independencia lineal. Un conjunto de vectores se dice que...