Vectores

Figura 1.26: Descomposici´n de un vector a en suma de un vector paralelo a b y otro o perpendicular a b. 10. a × b = a⊥ bˆ x 11. a × b = a⊥ bˆ z 12. a × b = −a⊥ bˆ z 13. a · a⊥ = 1 14. a · a⊥ = 0

1.4.

Ejercicios Finales

1. Un gato persiguiendo un rat´n camina 3,50 m al sur, luego 8,20 m a un ´ngulo o a ◦ de 30 al norte del oriente y, finalmente, 15,0 m al poniente. Encuentre el vector dedesplazamiento resultante del gato, usando el m´todo gr´fico. e a 2. Un avi´n vuela desde su campamento base al lago A, una distancia 280 Km o a una direcci´n 20◦ al norte del oriente. Despu´s de lanzar abastecimientos, o e ◦ vuela al lago B que est´ 190 Km y 30 al oeste del norte del lago A. Determine a gr´ficamente la distancia y direcci´n del lago B al campamento base. a o 3. Un vector A tieneuna magnitud de 8 unidades y hace un ´nguo de 45◦ con a el eje x positivo. El vector B tiene tambi´n una magnitud de 8 unidades y e est´ dirigido a lo largo del eje x negativo. Determine por el m´todo gr´fico la a e a suma vectorial A + B y la resta A − B. 4. Un jugador de golf necesita dos tiros para meter la pelota en el hoyo una vez que llega al “green” (c´ ırculo de grama alrededor del hoyo). Elprimer tiro desplaza la pelota 6 m al oriente y el segundo 5,4 m al sur. ¿Qu´ desplazamiento hubiera e sido necesario para meter la pelota en el primer tiro?

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5. Un objeto se desplaza en un vector a a lo largo de un plano inclinado que forma un ´ngulo de 20◦ con la horizontal. Si |a| = 20cm, encontrar las componena tes de a que son paralela y perpendicular respectivamente al planoinclinado adyacente, el cual forma un ´ngulo de 40◦ con la horizontal. a

Figura 1.27: Problema 5

6. Una espele´loga est´ explorando una cueva. Empieza a caminar en la entrada o a y recorre las siguientes distancias: 75 m al norte, 250 m al oriente, 125 m a un ´ngulo de 30◦ al norte del oriente y 150 m al sur. Encuentre el desplazamiento a resultante desde la entrada de la cueva. 7. Una pieza demaquinaria pesada es elevada desliz´ndola sobre una rampa que a tiene una inclinaci´n de 20◦ respecto a la horizontal, una distancia d = 12,5 o m. ¿Qu´ tan alto fue elevada respecto a su posici´n original? ¿Cu´l fue su e o a desplazamiento horizontal? 8. Dos paralelep´ ıpedos rectos id´nticos, han sido dispuestos en la forma indicada en e la figura 1.28 Ga y Gb son los puntos donde se cortan lasdiagonales principales. Determine: a) Los vectores de posici´n de los puntos Ga y Gb. o b) El vector desplazamiento de una mosca que vuela de Ga a Gb. 9. La componente x de un vector A es −25,0m y la componente y es 40,0 m. ¿Cu´l a es la magnitud de A? ¿Cu´l es el ´ngulo que forma la direcci´n de A con el eje a a o positivo de las x? 10. Tres cubos iguales de lado a = 6cm est´n situados en la formaindicada en la a figura 1.29. Si “N” es el punto medio del trazo AB y el trazo CM = 1 MD, 2 entonces encuentre: a) ON b) OM c) NM en t´rminos de ˆ ˆ k (no olvide las unidades). e i, j, ˆ 11. Un velero zarpa dispuesto a navegar 120 km al norte. Una tormenta inesperada, empuja el barco a 100 Km horizontalmente desde su punto de partida. ¿En qu´ direcci´n debe arrancar de nuevo para llegar a su destino?¿Si el buen viento e o le permite ir a 8 nudos, cu´nto tiempo tardar´ en llegar? (1 nudo equivale a a a 1,852 Km/h) 21

Figura 1.28: Problema 8

12. La pir´mide de la figura 1.30 est´ formada por cuatro tri´ngulos equil´teros. a a a a “P ” es el punto donde se cortan las bisectrices del tri´ngulo ABC y “M” el a punto medio del lado AB, y M ′ el punto medio del lado DA. Si DA = u; DB = v; DC =w; Determine los vectores: a) BC b) DM c) DP d) M M ′ 13. El vector A, que est´ dirigido a lo largo del eje x, debe sumarse al vector B que a tiene una magnitud de 7 cm. La suma es un tercer vector que est´ dirigido a lo a largo del eje y, con una magnitud que es 3 veces la de A. ¿Cu´l es la magnitud a de A? 14. Si d1 + d2 = 5d3 , d1 − d2 = 3d3 y d3 = 2ˆ + 4ˆ ¿Cu´les son las expresiones en i j a...