Vectores

Vectores
Es todo segmento orientado. El segmento orientado [a, b], de la figura es un vector; a indica el origen y b el extremo del segmento orientado.
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
* Origen
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
* Módulo
Es la longitud otamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
* Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
* Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea deacción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

Componentes de un vector

Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versoresperpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas.

Vector Unitario
Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tresvectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.

Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad.

De ese modo,

Los escalares , yse denominan componentes del vector y se representan por:

Los vectores son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j, y k.

También puede representarse de la siguiente forma:

Suma y resta de vectores
La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:
Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo delotro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.
Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.

Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, elproceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa.
Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante.

Producto de un vector por un escalar

Producto por un escalar.
El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, o contraria a estesi el escalar es negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.
Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería

Norma o Módulo de unvector
Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.
Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.

Efectuado el producto escalar, tenemos:

de modo que:

Por componentes, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i, j, k}

de modo que:

Propiedades de la Suma de Vectores
Las propiedades de la suma...