vectores

Combinación lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumaresos vectores multiplicados por sendos escalares.


Cualquier vector se puede ponercomocombinación lineal de otros que tengandistinta dirección.

Esta combinación lineal es única.


Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmentedependientes si hay unacombinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos loscoeficientes de la combinación lineal.






Propiedades
1. Si varios vectores son linealmentedependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.


También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todoslos vectores son linealmente dependientes.
2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3.Dos vectores libres del plano  = (u1, u2) y  = (v1, v2) son linealmentedependientes si sus componentes son proporcionales.








Ejemplo
Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores ,  y . escribir  como combinaciónlinealde  y, siendo k el valor calculado.
Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· =an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentesno son proporcionales.

Ejemplos
1.Estudiar si son linealmente dependientes o independientes losvectores:
 = (2, 3, 1),  = (1, 0, 1),  = (0, 3, −1)
a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)

r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado.
El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto...