Vectores

DEPARTAMENTO FISICA APLICADA. UPV.

SISTEMAS DE VECTORES
1. Introducción
Los sistemas de vectores deslizantes y ligados, constituyen un modelo
matemático de gran interés en el estudio de la Mecánica. En efecto, la Cinemática, la
Estática y la Dinámica utilizan modelos teóricos basados en los conceptos que se
desarrollan en este tema.
Iniciaremos el tema con el estudio de los sistemas devectores deslizantes, con
una exposición de los conceptos generales relativos a los mismos, pasando a
continuación a definir la equivalencia entre sistemas de vectores y su reducción. Por
último, se analizan con más detalle tres tipos de especial interés: los sistemas de
vectores deslizantes concurrentes, los paralelos y los planos.
El estudio de los sistemas de vectores ligados, sigue análogoprocedimiento. Se
inicia con los conceptos generales relativos a los mismos, pasando a continuación a
estudiar con más detalle los sistemas de vectores ligados paralelos.
Se supondrán conocidos por el lector, los conceptos relativos a vectores
deslizantes y ligados que recoge el tema vectores.

2. Sistemas de vectores deslizantes
2.1. Resultante. Momento resultante de un SVD
Un sistema devectores deslizantes, SVD, es un conjunto formado por un número
cualquiera de vectores deslizantes. Si el número de vectores del sistema es finito, el
sistema se denomina discreto. Si el número de vectores que forman el conjunto no es
finito, el sistema se denomina continuo. En los sistemas de interés práctico, los vectores
de los sistemas discretos tendrán módulo finito y los sistemascontinuos tendrán vectores
de módulo infinitesimal (diferencial).
Así, un rsistema discreto S con n vectores deslizantes lo escribiremos como
r
r
S = {(a1, A 1 ),(a 2 , A 2 ),..., (a n , A n )} (para mayor claridad en la exposición, en adelante se
r
usará la escritura condensada S {( ai , A i )} donde i varía de 1 hasta n, siendo n el
número de vectores del sistema.
r
Se define la resultantede un sistema de n vectores deslizantes S {( ai , A i )} como el
un vector libre, suma de los vectores del sistema (considerados a su vez como vectores
libres). Analíticamente:
i=n
r
r
R(S) = ∑ ai
[2.1-1]
i=1

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Se define el momentocentral resultante (en adelante momento resultante) de un
r
sistema de vectores deslizantes S {( ai , A i )} respecto a un punto P, a la suma de los
momentos centrales de cada uno de los vectores que forman el sistema respecto a dicho
punto P. Analíticamente:
i=n
r
r
[2.1-2]
MP (S) = ∑ PA i x ai
i=1

Para mayor claridad en la exposición, se ha supuesto en las expresiones
analíticasanteriores, que el sistema es discreto con n vectores. En el caso de sistemas
continuos, las expresiones son análogas sustituyendo convenientemente los sumatorios
por las adecuadas integrales. Así
r
r
R(S) = ∫ da

r
r
MP (S) = ∫ PA x da

r
Dado un sistemas de vectores deslizantes S {( ai , A i )} , a cada punto del espacio
se le puede asociar un vector momento central obtenido según [2.1-2],constituyendo lo
que se denomina campo de momentos del sistema de vectores deslizantes S.
En el tema de vectores se obtuvo la ecuación fundamental del campo de
momentos para un vector deslizante. Recordemos que esta expresión permite obtener el
r
momento de un vector deslizante a en un punto cualquiera Q de interés, si se conoce el
momento del vector en un punto cualquiera P.Analíticamente:

r
r
r r
r r
MQ ( a ) = MP ( a ) + QP x a
Para sistemas de vectores deslizantes, puede encontrarse una expresión
formalmente análoga para obtener el momento resultante de un sistema de vectores
deslizantes respecto a un punto cualquiera Q, si se conoce la resultante y el momento
del sistema en un punto P.

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