vectores
VECTORES
Página 171
REFLEXIONA Y RESUELVE
Multiplica vectores por números
■
Copia en un papel cuadriculado los cuatro vectores siguientes:
8
a
8
c
8
d
8
b
Representa:
8
8
a) 2 a
b) 5 b
c)
1 8
c
3
8
8
8
8
Expresa el vector d como producto de uno de los vectores a , b o c por un
número.
Designa los vectores anterioresmediante pares de números. Por ejemplo:
8
a (2, 3)
Repite con pares de números las operaciones que has efectuado anteriormente.
8
8
• d = –2,5 b =
8
8
–5 8
b
2
• a (2, 3)
1/3 c
8
b(–2, –2)
8
8
2a
c (3, 0)
8
8
5b
d (5, 5)
8
8
d = –5/2 b
8
• 2 a = 2 (2, 3) = (4, 6)
8
5 b = 5 (–2, –2) = (–10, –10)
1 8 1
c = (3, 0) = (1, 0)
3
3Unidad 7. Vectores
1
Suma vectores
■
Efectúa gráficamente:
8
8
8
a) a + c
8
8
b) b + c
8
8
8
8
c) b + a
8
8
d) a + b + c
8
siendo a , b y c los del ejercicio anterior.
Realiza las mismas sumas con pares de números.
8
8
Por ejemplo: a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)
8
8
8
8
8
8
8
8
a) a + c = (2, 3) + (3, 0) =(5, 3)
b) b + c = (–2, –2) + (3, 0) = (1, –2)
c) b + a = (–2, –2) + (2, 3) = (0, 1)
8
d) a + b + c = (2, 3) + (–2, –2) + (3, 0) = (3, 1)
8
c
a)
b)
8
a
8
8
8
8
b
8
b+c
8
a+c
c)
8
8
a
d)
8
8
b
8
8
b+a
8
8
c
b
c
a
8
8
a+b+c
Combina operaciones
8
u
8
v
8
w
■
8
88
Con los vectores u, v y w efectúa las siguientes operaciones gráficamente y
mediante pares de números:
8
8
8
a) 2 u + 3v
8
b) –v + 5w
8
8
8
c) 2 u + 3 v – 4 w
¿Cómo designarías al vector resultante de esta última operación?
8
8
8
8
8
8
a) 2 u + 3 v = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) = (6, 2) + (6, –6) = (12, –4)
b) – v + 5 w = –(2, –2) + 5 (3, –1) =(–2, 2) + (15, –5) = (13, –3)
8
c) 2 u + 3 v – 4 w = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) – 4 (3, –1) = (6, 2) + (6, –6) + (–12, 4) = (0, 0)
8
Vector nulo: 0
2
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
a)
b)
8
2u
8
8
8
8
–v
3v
5w
8
8
8
–v + 5w
2u + 3v
c)
7
8
2u
8
3v
8
–4w
Página 175
8
8
1. Si u(–2, 5) y v (1, –4) son las coordenadas dedos vectores respecto de una base, halla las coordenadas respecto de la misma base de:
8
8
8
8
8
8
1 8
1 8
a) 2 u + v
b) u – v
c) 3 u +
d) – u – 2 v
v
3
2
8
8
a) 2 u + v = 2 (–2, 5) + (1, –4) = (–4, 10) + (1, –4) = (–3, 6)
8
8
b) u – v = (–2, 5) – (1, –4) = (–2, 5) + (–1, 4) = (–3, 9)
(
) (
)
1
1
–5
11
d) – u – 2 v = – (–2, 5) – 2 (1, –4) = (1,
+ (–2, 8) =(–1,
2
2
2 )
2 )
1 8
1
1 –4
–17 41
v = 3 (–2, 5) +
,
=
,
(1, –4) = (–6, 15) +
3
3
3 3
3
3
8
c) 3 u +
8
8
Página 176
8
8
8
8
1. Dos vectores u y v cumplen que: |u| = 4, |v| =
8
8
8
8
8
8
8
8
b) v · u
d) (3u) · (–5v )
8
8
8
a) u · v
ì
3
8 8
, ( u, v ) = 30°. Calcula:
2
8
8
e) u · u
ì
8 8
8
a)u · v = |u| |v| cos ( u, v ) = 4 ·
8
8
8
c) (–u) · v
8
8
f) v · (–v )
√3
3
· cos 30° = 6 ·
= 3√3
2
2
8
b) v · u = u · v = 3√3
8
8
8
8
c) (–u) · v = – ( u · v ) = –3√3
8
8
8
8
d) (3u) · (–5v ) = 3(–5) ( u · v ) = –15 · 3√3 = –45√3
8
8
8
e) u · u = |u| 2 cos 0° = 16
8
8
8
8
8
f) v · (–v ) = –v · v = –|v|2 = –Unidad 7. Vectores
9
4
3
8
8
8
8
8 8
2. Si |u| = 3, |v| = 5 y u · v = –2, averigua el ángulo ( u, v ). (Usa la calculadora).
8
ì
8
8
ì
u·v
–2
2
8 8
=–
8 ( u, v ) = 97° 39' 44''
8
8 =
15
|u||v| 3 · 5
8 8
cos ( u, v ) =
8
8
8
8
8
8
8
ì
8 8
3. Halla u · ( v + u) y v · ( v – u) sabiendo que |u| = 3, |v| = 5, ( u, v ) =...
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