vectores

5. ESPACIOS VECTORIALES
5.1 “CONCEPTO Y DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL”
ESPACIO VECTORIAL.- Sean K un cuerpo y V un conjunto no vacío con reglas de adición y multiplicación por escalarque asignan a todo u, v Є V una suma u + v Є V y a todo u Є V, k Є K un producto ku Є V. Entonces V se llama un espacio vectorial sobre K ( y los elementos de V se llaman vectores) si se cumplen losaxiomas siguientes:
A1: Para todo vector u, v, w Є V, ( u + v) + w = u + (v + w).
A2: Existe un vector en V, denotado por 0 y llamado vector cero, tal que u + 0 = u para todo vector u Є V.
A3: Paratodo vector u Є V existe un vector en V, denotado por –u, tal que u + (-u) = 0.
A4: Para todo vector u, v Є V, u + v = u + v.
M1: Para todo escalar k Є K y todo vector u, v Є V, k (u + v) = ku +kv.
M2: Para todo escalar a, b Є K y todo vector u Є V, (ab)u = a(bu).
M3: Para todo escalar a, b Є K y todo vector u Є v, (ab)u = a(bu).
M4: Para todo escalar unidad 1 Є K, 1 u = u para todovector u Є V.

5.2 SUB-ESPACIOS VECTORIALES
SUBESPACIOS.- Sea W un subconjunto de un espacio vectorial sobre un cuerpo K. W se llama un sub-espacio de V si W es a su vez un espacio vectorialsobre K con respecto a las operaciones de adición de vectores y multiplicación por escalares en V. Un criterio simple para identificar un sub-espacio es el siguiente:
Teorema: W es un sub-espaciode V si y solamente si
(i) W no es vacío ,
(ii) W es cerrado para la adición de vectores: u, w Є W implican v + w Є W.
(iii) W es cerrado para la multiplicación por escalar: v Є W implica kv Є Wpara todo k Є K.
Corolario: W es un sub-espacio de V si y solamente si, (i) 0 Є W ( o W≠ Ǿ), y (ii) v, w Є W implican av + bw Є W para todo a, b Є K.


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5.3 COMBINACIONES LINEALESCOMBINACIONES LINEALES.- Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sean v1, … , vm Є V. Cualquier vector en V de la forma
a1v1 +...