vectores

Magnitudes escalares y vectoriales

Las  magnitudes escalares son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un sólo  número real y una unidad de medida. Ejemplos de este tipo de magnitud son la longitud de un hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos.
Las magnitudes vectoriales no se pueden determinar completamente mediante un número real y una unidad demedida. Por ejemplo, para dar la velocidad de un móvil en un punto del espacio, además de su intensidad se debe indicar la dirección del movimiento (dada por la recta tangente a la trayectoria en cada punto) y el sentido de movimiento en esa dirección (dado por las dos posibles orientaciones de la recta). Lo mismo ocurre con las fuerzas. Estas magnitudes se representan por vectores.
Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo
determinan se llama origen y el segundo extremo del vector. La recta que contiene al vector determina la dirección del mismo y la orientación sobre la recta, definida por el origen y el extremo del vector, determina su sentido.
El módulo del vector nos da el valor de la magnitud y es proporcional a la longitud del vector.Vectores unitarios
En adelante representaremos los vectores con letras en negrita.
Un vector unitario es un vector de módulo 1
LLamaremos i al vector unitario de dirección del eje X en su sentido positivo, j al del eje Y y k al del eje Z




Componentes de un vector
Cualquier vector se puede expresar como suma de tres vectores que tengan la dirección del los ejes X,Y y ZA = ( Ax,  Ay, Az )

A2 = Ax2+ Ay2+ Az 2


Ejercicio
Un cuerpo esta sometido simultáneamente a tres velocidades, una según el eje X de 3 m/s, otra según el eje Y de 4 m/s y otra de 5 m/s según el eje Z
Calcula el módulo de su velocidad total en kilómetros por hora.
Su velocidad total es:  V = 3 i + 4 j + 5 k   en m/s
Para calcular el módulo aplicamos:

Y obtenemos               V= 7,07 m/s = 25,5 km/h



Cosenos directores
Un vector puede definirse de las siguientes formas:
- Dando sus tres componentes
- Dando su módulo y dos de los ángulos que forma con los ejes X,Y,Z





Vector unitario de una dirección dada
Si queremos calcular un vector unitario en la dirección de un vector cualquiera solo tenemos que dividir dicho vector por su módulo.Ejemplo si queremos calcular el vector unitario U que tiene la misma dirección que la velocidad V aplicamos la siguiente expresión:
Las componentes de un vector unitario   son  los   cosenos directores   de   dicho   vector
Ejercicio
Calcula un vector unitario de la dirección del vector   V = 5 i + 4 j - 3 k
Aplicando la expresión anterior nos queda:
       Uv = ( 5 i + 4 j - 3 k ) /  7,07   =    0.707 i  +  0.566 j  -  0.424 k
El vector opuesto a este sería también una respuesta válida.


Vectores axiales
Los vectores en física también se utilizan para representar la velocidad angular, para ello se utiliza un vector cuyo módulo nos da el valor de la velocidad, su dirección es perpendicular al plano del movimiento circular y su sentido viene determinado por la regla delsacacorchos.
Del mismo modo se representan magnitudes como la aceleración angular, el momento de una fuerza y el momento angular:









Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores es el número que resulta de multiplicar el módulo del primero por el módulo del segundo y por el coseno del ángulo que forman.


Si multiplicamosescalarmente un vector A por otro unitario obtenemos el valor de la proyección de A sobre la dirección del vector unitario.
Ejercicios
1  Determina el producto escalar de un vector de módulo  5 que tiene la dirección del eje Z y su sentido positivo por el vector (3,2,3)
El primer vector es el vector (0,0,5)

El producto escalar será:    0 · 3  +  0 · 2  +  5 · 3  =   15
2  Calcula el ángulo...