vectores

FS1111
Vectores
Mario I. Caicedo
Departamento de F´
ısica, Universidad Sim´n Bol´
o
ıvar

´
Indice
1. Introducci´n
o

2

2. ¿Qu´ es un vector?
e

3

´
3. Algebra vectorial

5

4. Bases y componentes

8

5. Productos que involucran vectores

11

5.1. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

11

5.2. Productovectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

6. Vectores fijos y deslizantes

17

7. Diferenciaci´n con respecto a un par´metro
o
a

19

8. Integraci´n con respecto a un par´metro
o
a

22

9. Complemento: Cambios de base

23

2

1.

Introducci´n
o
El curso FS1111 que usted est´ comenzando1 es un curso de mec´nica newtoniana delpunto
a
a

material. Nuestro objeto de estudio es el movimiento de objetos que se conceptualizan como
puntos, lo que representa un alto grado de abstracci´n.
o
Si fueran f´
ısicos conocer´ muy bien alguna versi´n de un chiste que exhibe el nivel de
ıan
o
abstracci´n de que estamos hablando. En el chiste un apostador empedernido le pregunta a
o
un f´
ısico si ser´ posible predecir loscaballos ganadores en las carreras de un hip´dromo. El
a
o
f´
ısico afirma que cualquiera lo puede hacer, el apostador pregunta: ¿como? y el f´
ısico contesta:
“Comencemos por imaginar que todos los caballos son puntos”.
Chistoso o no, as´ son muchas aproximaciones de la f´
ı
ısica, no son pocas las personas que
encuentran estas aproximaciones sumamente crudas y poco realistas hasta que,enfrentados a la
comparaci´n entre aquellas y algunas mediciones experimentales quedan gratamente sorpreno
didas con lo exitosas que resultan.
Espero que a lo largo de este curso de introdcuci´n a la f´
o
ısica usted aprenda a apreciar esta
forma de pensar: construir aproximaciones como la de part´
ıcula puntual para crear “modelos
matem´ticos de la realidad”, pero quiero adelantarle que amedida que se avanza en el estudio
a
de la f´
ısica, la realidad experimental nos lleva a dejar algunas aproximaciones mientras que
mantenemos otras, siempre con el objetivo de obtener alguna representaci´n cuantitativa de los
o
1

Estas notas son preliminares as´ que seguramente encontrar´ montones de errores: misprints, formulitas que
ı
a

faltan etc. A pesar de eso espero que estudiareste material le resulte provechoso ya que est´ adaptado al nivel
a
de los cursos de la USB, en la p´gina www.fis.usb.ve usted puede encontrar una gu´ de problemas que se espera
a
ıa
trate de resolver juiciosamente. Puede complementar sus lecturas con cualquier libro que desee

3

hechos que podemos observar en la naturaleza.
En p´ndulo simple. La mec´nica de Newton permite pree
adecir que siempre que las oscilaciones barran ´ngulos pea
que˜os (menores a unos 30◦ ) el per´
n
ıodo (T ), es decir, el
tiempo que requiere el p´ndulo para realizar una oscie
laci´n completa es independiente de la amplitud de las
o
oscilaciones y proporcional a la ra´ cuadrada de la lonız
√
gitud (ℓ) del cable (T = constante × ℓ). Usted mismo
puede observar hace algunos experimentos encasa para
verificar estos hechos. Por cierto, la primera de las predicciones fue observada y reportada por Galileo Gelilei.
La mec´nica del punto requiere el uso de ciertas herramientas matem´ticas que le son
a
a
absolutamente indispensables, entre otras, la geometr´ euclideana con su caracterizaci´n de
ıa
o
rectas, puntos, planos etc. En la mec´nica de Newton el espacio en que vivimos es unespacio
a
como el que describe Euclides.

2.

¿Qu´ es un vector?
e
Como ya comentamos en la introducci´n la base geom´trica de la mec´nica de Newton es
o
e
a

eucl´
ıdea. La geometr´ eucl´
ıa
ıdea, sin embargo, no constituye un soporte matem´tico suficiente
a
para la mec´nica newtoniana, para las necesidades de esta es menester introducir nuevos objea

4

tos2 : los vectores...