Vectores

Facultad de Ingeniería

Curso de Nivelación

EJERCITARIO: MATEMÁTICA III

OPERACIONES GEOMÉTRICAS CON VECTORES
1- Dado los vectores A y B indicados en el gráfico, construir los vectores:
a) A + B ; b) A – B ;
c) B – A ;
d) – A – B
Respuesta:
a)

b)

-B

c)

d)

B

A

B
A

A+B

A

-A
A-B

-A-B

-A
B-A

B

-B

2- Conociendo los vectores A y B construiren forma gráfica los vectores:
a) 3A
b) – ½ B
c) 2A + ½B
A

B

Respuesta:
c)
a)

2A

b)
3A

2A+1/2B

-1/2B

1/2B

3- Dado los vectores de la figura, encontrar los vectores:
a) 2P – M
b) M – 2(P + R)
c) 3R – P
Respuesta:
P

R

a)

c)

b)
-2(P+R)
M-2(P+R)

3R - P

2P

-P

P+R
2P - M

P

3R

R

M

-M
M

4- Demostrar gráficamente que:Respuesta:

– (A–B)= –A+B

Sean:
A

-B
A

-A+B
-(A-B)

B

-A
B

Los dos triángulos son iguales y sus lados paralelos

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Página 205

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5- Dados los vectores A, B, C y D representados en la figura, construir los vectores:
a)
C+2(A–B+½D)
b)
3A – 2B –(C – D)
A
Respuesta:
D
B

C

C

a)

C+2(A-B+½D)
2(A-B+½D)

3A

b)

3A-2B-(C-D
-2B
-(C-D)

6- Sabiendo que los vectores Q y P forman un ángulo de 60°,

determinar el ángulo formado por los vectores indicados abajo,
en el orden dado y en el sentido positivo del ángulo (el sentido
positivo del ángulo se toma considerando el giro contrario a
las manecillas del reloj):
a) Py –Q b) Q y –P
Respuesta:
a) 120° = − 240°
c) 300° = − 60°

c) –P y –Q

P
60°
Q

d) –2Q y 2P

b) −120° = +240°
d) 240° = − 60°

7- Demostrar que en un triángulo cualquiera, la recta que une los puntos medios de dos lados, es
paralela al tercer lado e igual a la mitad
8- Demostrar gráficamente que:

– (A–B)= –A+B

9- Siendo A y B dos vectores no paralelos en un plano,demostrar las desigualdades:
a) ⏐A+B⏐≤⏐A⏐+⏐B⏐ b) ⏐A−B⏐≥⏐A⏐−⏐B⏐
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10- Demostrar la desigualdad: ⏐A+B+C⏐≤⏐A⏐+⏐B⏐+⏐C⏐

11- Sabiendo que los vectores de la figura representan la suma
y deferencia de los vectores A y B. Hallar gráficamente
estos vectoresRespuesta:
(A−B)
2A

A–B

−(A−B)
(A+B)

A

A+B

2B
B

12- Demostrar vectorialmente que el vector que une los puntos medios de los lados no paralelos de
un trapecio, es paralelo a las bases e igual a la mitad de la suma de las bases.
13- ¿Qué condiciones deben satisfacer los vectores A y B para que existan las siguientes relaciones?
a) ⏐A+B⏐ = ⏐A–B⏐
b) ⏐A+B⏐ > ⏐A–B⏐
c) ⏐A+B⏐ <⏐A–B⏐
d) el vector A+B tenga la dirección de la bisectriz del ángulo formado por los vectores A y B.
Respuesta:
a) α = 90°
b) α < 90°
c) 90°< α < 180°
d) ⏐A⏐ = ⏐B⏐
14- Demostrar la igualdad vectorial: OA + OB + OC = OP + OQ + OR, siendo O un punto interior
cualquiera del triángulo ABC y P, Q, R los puntos medios de los lados AB, BC, CA,
respectivamente.
15- Determinar la condición que debecumplir el vector A + B , para que su dirección sea la de la
bisectriz del ángulo formado por los vectores A y B.
Respuesta: Para que el vector A + B tenga la dirección de la bisectriz del ángulo formado por
los vectores A y B , se debe cumplir: ⎜A⎜ = ⎜B⎜. En otras palabras, los vectores A y B deberán representar a los lados de un rombo.

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16- En el cuadrilátero ABCD de la figura, se dan los
vectores que coinciden con sus aristas: AB = m ;
BC = n ; CD = p ; DA = q. Construir los
vectores siguientes:
a) m + n + p
b) p − q + m c) n + 2q − p

C
p
D
n
q
A

Respuesta:

m

B

p
n

a)

−q
m
m
n
b) −q

2q

c)...