vectores

LOS VECTORES EN EL ESPACIO
1.- El conjunto 

La representación gráfica de 
es el conjunto de puntos del espacio tridimensional.
El orden en que se escriben los elementos de cada terna esfundamental. Diremos que x es la primera coordenada, y es la segunda y z es la tercera coordenada.
Dos ternas de números reales son iguales si lo son coordenada a coordenada.
Operaciones en 
Suma: (x, y,z)+(x´, y´, z´)=(x+x´, y+y´, z+z´)
Producto por escalar: k·(x, y, z)=(k·x, k·y, k·z)
Ej.: Encuentra los valores de x , y , z para que se verifique la igualdad siguiente:
(-8, -19, 7)=x·(3, -1,5)+y·(-2, 1, 0)+z·(2, 7, 1)
2.- Vectores en el espacio
Un vector fijo es un segmento orientado. Lo representaremos por 
o AB, donde A es el punto origen y B es el punto extremo (final).Características de un vector
Las características de un vector son: módulo, dirección y sentido.
El módulo del vector 
es su longitud. Lo representaremos por /
/.
La dirección de 
es la de la recta que loscontiene. Si dos vectores tienen la misma dirección, son paralelos.
El sentido del vector 
es el que va del origen al extremo.
Equipolencia de vectores
Dos vectores fijos son equipolentes si tienenel mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Gráficamente, dos vectores son equipolentes si al unir sus orígenes y sus extremos, respectivamente, se obtiene un paralelogramo.
Vectoreslibres
Un vector libre es un vector fijo y todos los que son equipolentes con él. Cada vector fijo perteneciente a un vector libre es unrepresentante del mismo.
Un vector libre lo representaremos por 
.Al conjunto de todos los vectores libres del espacio lo designaremos por V3.
Se llama módulo, dirección y sentido de un vector libre al módulo, dirección y sentido de uno cualquiera de susrepresentantes.
El vector libre nulo lo representaremos por 
. Tiene módulo 0, carece de dirección y sentido.
Propiedad fundamental de los vectores libres
Si 
es un vector libre del espacio y P es un...