vectores

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector se dice que es una combinación lineal de y .
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.



Ejemplo 1:Dados los vectores , hallar el vector combinación lineal

Ejemplo 2:El vector , ¿se puede expresar comocombinación lineal de los vectores ?





DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL.
1.-Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes,entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.


También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son tienen la misma dirección.
3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmentedependientes si sus componentes son proporcionales.


2.-Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si no son linealmente dependientes. Por tanto

a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Espacio Vectorial

Un espaciovectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizanlas propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio elucídelo. Un concepto importante es el de dimensión.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano,a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad.Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección [LWJ98], ya sea una fuerza, una velocidad o una distancia. El término vectortambién se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones.






















Dimensiones y Base de un espacio vectorial

1.Dimenciones
La dimensión de un espacio vectorial se define como el cardinal de unabase vectorial para dicho espacio. Por el axioma de elección todo espacio tiene una base (incluso elespacio {0}, ya que el vacío es una base), y puesto que puede demostrarse que todas las bases vectoriales tienen el mismo cardinal, el concepto de dimensión está bien definido. Conviene notar que existen espacios vectoriales de tanto de dimensión finita como de dimensión infinita (el espacio vectorial de los polinomios de una variable, por ejemplo tiene dimensión .
La dimensión de un espacio coincide...