Vectores

Escalares y vectores
La mayor parte de las cantidades físicas en mecánica pueden ser expresadas
matemáticamente por medio de escalares y vectores.
Escalar. Una cantidad caracterizada por un número positivo o negativo
se denomina un escalar. Por ejemplo, masa, volumen y longitud son
cantidades escalares empleadas a menudo en estática. En este libro, los
escalares están indicados por letrasen cursivas, tal como el escalar A .
Vector. Un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud como di
rección. En estática, las cantidades vectoriales encontradas con frecuencia
son posición, fuerza y momento. En trabajos realizados a mano, un
vector es representado generalmente por una letra con una línea sobre
ella, tal como A. La magnitud se designa mediante IAI o simplemente
con A. Eneste libro los vectores se simbolizarán mediante tipos en negrita;
por ejemplo, A se usa para designar el vector "A". Su magnitud, que
es siempre una cantidad positiva, se representa mediante cursivas, tal
como I A I , o simplemente A cuando se sobreentienda que A es un escalar
positivo.
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18 • CAPíTULO 2 Vectores fuerza
Línea de acción _
20°
Cola
O
Fig. 2-1
Un vector se representagráficamente por medio de una flecha, la cual
se usa para definir su magnitud, dirección y sentido. La magnitud del
vector es la longitud de la flecha, la dirección es definida por el ángulo
entre un eje de referencia y la línea de acción de la flecha, y el sentido
queda indicado por la cabeza de la flecha. Por ejemplo, el vector A mostrado
en la figura 2 -1 tiene una magnitud de 4 unidades,una dirección
de 20° medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde
el ej e horizontal, y un sentido que es hacia arriba y hacia la derecha. El
punto O se llama la cola del vector y el punto P la punta o cabeza del
vector.
2.2 Operaciones vectoriales
//
Vector A Y su contraparte negativa
Fig. 2-2
/ o.y
Multiplicación y división escalar
Fig. 2-3
Multiplicación ydivisión de un vector por un escalar. El producto
de un vector A y un escalar a, que da aA, se define como un vector con
magnitud laA I. El sentido de aA es el mismo que A siempre que a sea
positivo, y es opuesto a A si a es negativo. En particular, el negativo de
un vector se forma multiplicando el vector por el escalar ( - 1 ), figura 2 -2.
La división de un vector entre un escalar se puededefinir usando las leyes
de multiplicación, ya que Al a = (1 la )A, a *- O. Ejemplos gráficos de estas
operaciones se muestran en la figura 2 -3.
Suma de vectores. Dos vectores A y B, tal como los de fuerza o posición,
figura 2-4a, pueden sumarse para formar un vector "resultante"
R = A + B usando la ley del paralelogramo. Para hacer esto, A y B se
unen en sus colas, figura 2-4b. Se trazan líneasparalelas desde la cabeza
de cada vector cortándose en un punto común, formando así los lados adyacentes
de un paralelogramo. Como se muestra, la resultante R es la diagonal
del paralelogramo, la cual se extiende desde las colas de A y B hasta
la intersección de las líneas.
También podemos sumar B a A usando una construcción triangular,
un caso especial de la ley del paralelogramo, en dondeel vector B se
suma al vector A en forma de "cabeza a cola" , esto es, conectando la
cabeza de A a la cola de B, figura 2 -4c. La resultante R se extiende desde
la cola de A hasta la cabeza de B. De manera similar, R también
puede ser obtenida sumando A a B, figura 2-4d. Por comparación, se
ve que la suma vectorial es conmutativa; en otras palabras, los vectores
pueden sumarse en cualquierorden, es decir, R = A + B = B + A.
R = A + B
(a)
Ley del paralelogramo •
(b)
Construcción triangular
(c)
Construcción triangular
(d)
Suma vectorial
Fig. 2--4
SECCIÓN 2.2 Operaciones vectoriales . 1 9
Como un caso especial, s i los dos vectores A y B son colineales, e s decir,
si ambos tienen la misma línea de acción, la ley del paralelogramo
se reduce a una suma algebraica o suma...