Vectores

TEMA 1.
ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
1.Definición: Espacio Vectorial.
Sean los conjuntos:
- K, con estructura de cuerpo, a sus elementos los llamaremos escalares y
denotaremos con las letras:a, b, α, β,…
- V, cuyos elementos llamaremos vectores y denotaremos como: u,v,w...
Se dice que V tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K, escrito {V, K}, si
en él se definen lasdos operaciones siguientes y se cumplen una serie de propiedades:
Ley de composición u operación interna
Interna significa que asigna a cada par de vectores de V otro vector de V.
La operación sedenota (+) y se denomina “suma de vectores”.
V V V
(u,v)u v
El Conjunto V con la operación interna suma, {V, +}, debe verificar las siguientes
propiedades:
a- Propiedad asociativa: (u v)w u (v w)
b- Propiedad conmutativa: u v v u
c- Elemento neutro: 0V /uV : 0 u u
d- Elemento opuesto: u V / u V / u (u) 0
Nota: las propiedades a, c y d caracterizan laestructura de Grupo, si además se verifica
la propiedad “b”, se dice que es Grupo Abeliano.
Operación externa
Externa significa que asigna a cada elemento de V y otro de K (conjunto conestructura de cuerpo), un vector de V.
La operación se denota por “ ”y la denominaremos “producto (de vector) por
escalar”
V K V
(u,) u u
Además, los conjuntos V y K con las operaciones de“suma de vectores” y “producto
por escalar” deben verificar las siguientes propiedades:
a- Distributiva respecto de la suma de vectores: (u w) u w
b- Distributiva respecto a la suma deescalares: ()u u u
c- Pseudo asociativa o asociativa mixta: ()u (u)
d- El elemento neutro del cuerpo K es también el elemento neutro de la
operación externa: 1u u
2
2. Elespacio vectorial{n,}, nN
2= {(a,b)/a, b} ⇒pares de números reales: x
3= {(a, b, c) / a, b, c } ⇒ternas de números reales: xx
n= a a a i n n i ( ,..., ) / , 1,2,..., 1...