VECTORES

I. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

Sean f1, f2 y f3 tres funciones reales de una variable real t. Entonces, para todo número t en el dominio común a f1, f2 y f3, existe un vector R definido por: R(t) = f1(t) i + f2(t) j + f3(t) k, y R se denomina función vectorial.

La gráfica de una función vectorial en el espacio tridimensional, se obtiene asignándole valores a t. Cuando ttoma todos los valores en el dominio de R, el punto final de la representación posicional del vector R(t) describe una curva C, la cual se denomina gráfica de la función vectorial.

Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x, y, z) donde:
x = f1(t) y = f1(t) z = f1(t)

Las ecuaciones anteriores se llaman ecuaciones paramétricas de C. Eliminando t en las ecuacionesparamétricas obtenemos dos ecuaciones en x, y, z. Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones cartesianas de C. Cada ecuación cartesiana es una ecuación de una superficie y la curva C es la intersección de ambas superficies. Las ecuaciones de cualesquiera dos superficies que contienen a C pueden tomarse como las ecuaciones cartesianas que definen a C.
R(t) = a.cos(t)i + b.sen(t)j + tk

Las ecuacionesparamétricas de la curva dada son:
x = a.cos(t); y = bsen(t); z = t ……
Esta curva se llama hélice. Si a = b, la hélice se llama hélice circular y se localiza en el cilindro recto x2 + y2 = a2.

R(t) = ti + t2j + t3k

Las ecuaciones paramétricas de la curva dada son:
x = t
y = t2
z = t3
Esta curva se llama cúbica alabeada.



Límites y continuidad
El límite de f(x) cuando xtiende hacia a es L y se escribe:


Lo anterior significa que se considera un valor de x muy cercano a a tal que se cumpla la siguiente condición:

 siempre que 

No es necesario que la función esté definida para x = a para que el límite exista. Los valores de f(x) tienden al valor L cuando hacemos que el valor de x tienda hacia a.  y  son valores decimales muypequeños.

Los valores de x pueden ser asignados considerando valores menores que a. En este caso x tiende por la izquierda hacia el valor a. O bien, considerando valores mayores que a, en cuyo caso x tiende por la derecha hacia el valor de a.


Límite por la Izquierda x tiende por la izquierda hacia el valor de a.
Límite por la Derecha x tiende por la derecha hacia el valor dea.
Límite Bilateral o No Dirigido


En la gráfica lateral observamos que







Continuidad en un número
Se dice que una función f es continua en el número a si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
• existe.
• existe.
•
Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen para , se dice que la función es discontinua en .

Derivada deuna curva dada paramétricamente
Sean , y tres funciones reales de una variable real . Entonces, para todo número en el dominio común a , y , existe un vector definido por:

Si R(t) = f1 (t)i + f2 (t)j + f3 (t)k, entonces


Si existen:


La función vectorial R es continua en t1 si y solo si:
existe.
existe.


La derivada de una función vectorial R es una funciónrepresentada por R', y definida por: si dicho límite existe.
Si R es una función vectorial definida por:

y R(t) existe, entonces:


La interpretación geométrica para la derivada de es el vector tangente a la curva en el punto .
La figura de la derecha muestra una porción de la curva , que es la gráfica de . En la figura OP es la representación de posición de , OQ es la representaciónde posición de y así PQ es la representación del vector . Cuando  t tiende a cero, el vector tiene una representación que se aproxima a un segmento rectilíneo dirigido, tangente a la curva en .

representa la velocidad instantánea con la que el extremo de describe la curva en cuestión. De la misma manera, es la aceleración instantánea a lo largo de dicha curva.

Fórmulas de...