vectores

Tema 7 – Vectores – Matemáticas I – 1º Bachillerato

1

VECTORES
EJERCICIO 1 : ABCDEF son los vértices de un hexágono regular de centro O. En los
siguientes pares de vectores compara sus módulos, direcciones y sentidos:
A

a) AB y BC

B

b) BC y EF
F

C

c) AB y FC
E

D

a) AB y BC : Tienen el mismo módulo y distinta dirección. No se puede comparar el sentido.
b) BC y EF:Tienen el mismo módulo y dirección, y sentidos opuestos.
c) AB y FC: Tienen la misma dirección y sentido, pero distinto módulo.
→

→

EJERCICIO 2 : Dados los vectores u y v , representa
los vectores:
→

→

v

→

→

a) u + v

u

b) u - v

a) Para sumar u y v, colocamos v de modo que su origen coincida con el extremo de u. u + v
es el vector cuyo origen es el de u y extremoel de v

u
v

b) Para obtener u – v se le suma a u el opuesto de v.

-v

v
u

EJERCICIO 3 : Dados los vectores u (2,1), v(1,-2). Calcular las coordenadas de los vectores:
1
a) u + v
b) u – v
c) 2u + v
2
a) u + v = (2,1) + (1,-2) = (2+1, 1-2) = (3,-1)
b) u – v = (2,1) – (1,-2) = (2-1, 1-(-2)) = (1,3)
1
1
1
9
c) 2u + v = 2(2,1)+ (1,-2) = (4,2) + ( ,-1)= ( ,1)
2
2
2
2Tema 7 – Vectores – Matemáticas I – 1º Bachillerato

2

EJERCICIO 4 : Calcular m y n para que se verifique w = mu+nv, siendo u(4,-8),v(0,2),w(2,-1)
1

m=

2 = 4 m

2
⇒
(2,-1) = m(4,-8) + n(0,2) ⇒ 
− 1 = −8m + 2n

− 1 = −4 + 2n → n = 3


2
1
3
w = u + v . Así expresamos w como combinación lineal de u y v
2
2
EJERCICIO 5 : La figura ABCD es un rombo de lado 6 cm yángulos 60º y 120º. Halla:
B

a) AB. AD
A

b) DA.DC

O
C

c) OB.OC
d) AO.OC
D

 1
a) AB.AD = |AB|.|AD|.cos 120º = 6.6.  −  = -18
 2
1
b) DA.DC = |DA|.|DC|.cos 60º = 6.6. = 18
2
c) OB.OC = |OB|.|OC|.cos 90º = (3 3 ).3.0 = 0
d) AO.OC = |AO|.|OC|.cos 0º = 3.3.1= 9

EJERCICIO 6 : Dados los vectores a(-3,4), b(5,-1), hallar:
a) a.b
b) |a|
c) |b|
d) ángulo que forman a yb
a) a.b = -3,5 + 4.(-1) = -15-4 = -19
b) |a| =

(−3) 2 + 4 2 = 5

5 2 + (−1) 2 = 26
− 19
a.b
d) Cos (a,b) =
=
= −0,7452
a . b 5. 26
Utilizando la calculadora: INV + COS 0,7452 +/- = 138º 10’ 35’’
c) |b| =

EJERCICIO 7 : Dado el vector v(-5,3), calcula las coordenadas de los siguientes vectores:
a) unitarios y de la misma dirección que v
b) ortogonales a v y del mismo módulo
c)Ortonormales a v
a) Para convertir un vector en unitario, lo dividimos por su módulo:

5
3 
|v| = 25 + 9 = 34 ⇒ v1 = ±  −
,



34 34 

Como queremos que tenga la misma dirección que u, nos quedamos con la solución

5
3 
,

positiva: v1 =  −


34 34 

b) Se permutan las coordenadas y se cambia una de signo: w1 = (3,5) y w2 = (-3,-5)

Tema 7 – Vectores –Matemáticas I – 1º Bachillerato
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Ortogonal y unitario: Dividimos los vectores w1 y w2 que son ortogonales entre su módulo
para convertirlos en unitarios: |w1| = |w2| =|v| = 34
 3
 −3 −5 
5 
,
 y z2 = 
,

z1 = 




 34 34 
 34 34 
EJERCICIO 8 : Halla un vector v de módulo

5 y que forme con u(2,-4) un ángulo de 60º

| v |= 5 ⇒ x 2 + y 2 = 5 ⇒ x 2 + y 2 = 5
Sea v(x,y) ⇒ 
u.v
1 2x − 4 y
⇒ =
⇒ 2x − 4 y = 5
cos 60º =
| u |.| v |
2
5 20

5 + 4y

x = 2

x 2 + y 2 = 5 
⇒

2
2 x − 4 y = 5

 25 + 40 y + 16 y + y 2 = 5 ⇒ 4 y 2 + 8 y + 1 = 0 ⇒ y = −0,13 → x = 2,24

y = −1,86 → x = −1,22
4

Hay dos soluciones: v1(2,24;-0,13) y v2(-1,22;-1,86)
EJERCICIO 9 : Dados los puntos A(3,-2), B(1,3), C(-6,0), halla el punto D demodo que
ABCD sea un paralelogramo:
B
A

A

D

AD = BC
(x,y) – (3,-2) = (-6,0) – (1,3)
x − 3 = −7 → x = −4
⇒ D(−4,−5)

 y + 2 = −3 → y = −5

C

EJERCICIO 10 : Halla los puntos que dividen al segmento de extremos A(-2,3) y B(6,2) en
tres partes iguales

A

P

Q

B
A

2

8 = 3x + 6 → x = 3

 2 8
AB = 3(AP) ⇒ (6+2,2-3) = 3.(x+2,y-3) ⇒ 
⇒ P , 
 3 3...