vectores

Prof. Susana López

3
3.1

31

Espacios Vectoriales
Introducción

Un vector fijo en el plano no es más que un segmento orientado en el que hay que distinguir
tres características:
-dirección: la de la recta que lo contiene
-sentido: el que va de su origen a su extremo, marcado por una punta de flecha
-módulo: la longitud del segmento
−
→
Los vectores fijos del plano se denotan condos letras mayúsculas, por ejemplo AB, que
indican su origen y extremo respectivamente.
B

D

C

A
E

H

F

G

Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Para
comprobarlo, se unen sus orígenes y sus extremos respectivos. Si el polígono resultante es un
paralelogramo, los vectores son equipolentes.

Un vector libre del plano es un conjuntoformado por infinitos vectores fijos equipolentes.
Los vectores libres se denotan con letras minúsculas, por ejemplo v. Al conjunto de los vectores
libres del plano se llama R2 .
La gran ventaja de un vector libre es que podemos moverlo libremente por el plano, pues
ahora ya no está sujeto a un origen y un extremo. Cada vez que lo movamos estaremos
escogiendo un vector fijo distinto comorepresentante del vector libre.
Dado un vector libre cualquiera, se puede representar como un segmento de recta orientado
que parte del origen O y tiene su extremo en un punto Q con coordenadas (x, y) . A estos dos
−
→
escalares (x, y) se les denomina coordenadas del vector OQ.

Prof. Susana López

32

y
x
y
x

y
x

y
x

y
x

−
→
A través del Teorema de Pitágoras obtenemosque el módulo o norma del vector OQ =
(x, y) es:
°− ° p
° →°
°OQ° = x2 + y 2

El único vector que tiene módulo 0 es el vector nulo 0, cuyas componentes son todas nulas,
0 = (0, 0).
De manera análoga en el espacio R3 los vectores también vienen caracterizados por su
dirección, norma y sentido, pero en este caso los vectores tienen tres coordenadas o componentes.
En general en Rn losvectores tendrán n coordenadas v = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .

3.1.1

Operaciones con vectores.

Definición 11 Dados dos vectores cualesquiera de Rn , v = (x1 , x2 , ..., xn ) y w = (y1 , y2 , ..., yn )
se define:
1. El vector suma v + w = (x1 , x2 , ..., xn ) + (y1 , y2 , ..., yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ) .
2. El vector diferencia v − w = (x1 , x2 , ..., xn )−(y1 , y2 , ..., yn ) =(x1 − y1 , x2 − y2 , ..., xn − yn )
3. El vector producto de un escalar λ ∈ R por un vector v = (x1 , x2 , ..., xn ) , λ · v =
(λx1 , λx2 , ..., λxn )
En R2 es fácil ver la interpretación geométrica de la suma de dos vectores.
→

v

→

→

v+ w
→

w

→

v

Prof. Susana López

33

La diferencia de vectores es similar.
→

v
→

→

w
→

−v

→

w− v

Elproducto de un vector por un escalar lo que hace es cambiar (λ < 0) o igualar la dirección
del vector (λ > 0) y aumenta (|λ| > 1) o disminuye (|λ| < 1) el módulo del vector tantas veces
como indica λ.

→

v

→

2v

Observaciones:
• Cuando a un vector v lo multiplicamos por −1, obtenemos el vector opuesto −v, que
tiene el mismo módulo que v pero sentido opuesto.
• Si el vector v tienemódulo kvk , entonces el vector
su módulo es igual a la unidad.

1
v
kvk

tiene módulo unitario, es decir,

• Definimos el producto escalar de dos vectores v = (x1 , x2 , ..., xn ) y w = (y1 , , ..., ) como:
v · w = (x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn )
otra forma de expresar el producto escalar es:
v · w = kvk kwk cos α
donde α es el ángulo que forman los dos vectores. Si los vectores sonperpendiculares
formarán un ángulo de π en ese caso cos α = 0, y por tanto, v · w = 0. En ese caso
2
diremos que los vectores son ortogonales.

3.2

Espacio vectorial

Definición 12 Un conjunto V , cuyos elementos se denotan mediante u, v, w, ..., se dice que es
un espacio vectorial sobre el cuerpo K (si K es R se dice que es un espacio vectorial real y si

Prof. Susana López

34

K es...