Vectores

�⃗= �⃗= 2.- Siendo ������������ (1, 0, 1), ������������ (1, 1, 0) y ������������ (0, 1, 1), demostrar que dichos vectores son linealmente ���⃗= ���⃗= independientes y expresa el vector ������������ (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores. �⃗= 3.- Dados los vectores �⃗= (1, 2, 3), ������������ (2, 1, 0) y ������������ (−1, −1, 0), demostrar que dichos vectores ������������ ���⃗=forman una base y calcula las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto de dicha base. 4.-Dados los vectores: (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1). a) Demostrar que forman una base.

���⃗= �⃗= 1.- Expresa el vector ������������ (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: ������������ (1, 0, 1), �⃗= ������������ (1, 1, 0) y ������������ (0, 1, 1). ���⃗=

Problemas de vectores

�⃗ �⃗ 5.-Determinar el valor del parámetro k para que los vectores �⃗= k������������ − 2������������ + 3������������ , ������������ ���⃗ �⃗= �⃗ �⃗ ���⃗ ������������ −������������ + k������������ + ������������ sean: b) Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base. a) Ortogonales. b) Paralelos. 6.- Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide: a) Hallar paraqué valores del parámetro a están alineados. b) Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos. 7.- Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2, −2, 3) y (3, −3, 2). �⃗ �⃗ 9.- Dados los vectores ������������ = (������������, ������������, ������������) y ������������ = (������������,������������, ������������) , y ������������ = (−������������, ������������, ������������) hallar: ���⃗ �⃗ �⃗ �⃗ ���⃗ �⃗ ���⃗ �⃗ �⃗. a) ������������ · ������������ , ������������ · ������������ , ������������ · ������������ , ������������ · ������������ �⃗ �⃗ c) (������������ ������������ ������������ ) · ������������ ���⃗, �⃗|, �⃗|, ���⃗|, d) |������������ |������������ |������������ �⃗ �⃗ �⃗ ���⃗ �⃗ �⃗, �⃗ ���⃗, b) ������������ x������������ , ������������ x ������������ , ������������ x ������������ ������������ x ������������ � � ���⃗ �⃗ ���⃗ �⃗ e) cos (������������, ������������) y cos (������������, ������������) �⃗ �⃗ a) Los módulos de ������������ y ������������ (������������ ������������ ������������ ) · ������������ �⃗ ���⃗ �⃗, �⃗ �⃗ 8.- Hallar un vector perpendicular a ������������ = (������������, ������������,������������) y ������������ = (−������������, ������������, −������������) y que sea unitario

�⃗ �⃗ 10.- Dados los vectores ������������ = (������������, ������������, −������������) y ������������ = (������������, ������������, ������������) hallar: �⃗ �⃗ b) El producto vectorial de ������������ y ������������ �⃗ �⃗ c) Un vector unitario ortogonal a ������������ y ������������

1

�⃗ �⃗d) El área del paralelogramo que tiene por lados los vectores ������������ y ������������ �⃗(������������, 12.- Hallar los cosenos directores del vector ������������ ������������, ������������) .

�⃗ ⃗ ⃗ ������������ �⃗ ⃗ ⃗ ������������ �⃗ �⃗ 13.- Dados los vectores ������������ = ������������ ������������ − ������������ + �⃗ y ������������ = ������������ ������������ − ������������������������ + �⃗ , hallar el producto ������������ x ������������ y �⃗ �⃗. �⃗ �⃗ �⃗ �⃗ comprobar que este vector es ortogonal a ������������ y a ������������ Hallar el vector ������������ x ������������ y compararlo con ������������ x ������������ . 15.- Dados los vectores �⃗ (������������, ������������, ������������) �⃗ (������������, ������������, ������������) , y ������������ (−������������, −������������, ������������),hallar el producto mixto ������������ ������������ ���⃗ [������������ , �⃗ , ������������ ]. ¿Cuánto vale el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores dados? �⃗ ������������ ���⃗ 14.- Calcular el producto mixto: 16.- Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los tres vértices de un triángulo. Se pide: a) Calcular el coseno de cada...