Vectores

Sistema de coordenadas en el espacio.
Para comenzar, considere tres ejes de coordenadas mutuamente perpendiculares (los ejes x, y, z) con sus ceros en un punto común O, llamado el origen. Aunque estas líneas se pueden orientar de cualquier forma deseada, seguiremos la costumbre de pensar en los ejes y y z como si estuvieran en el plano del papel, con sus direcciones positivas hacia la derecha yhacia arriba, respectivamente. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes x e y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: xy, xz e yz. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primeroctante las tres coordenadas son positivas.

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Vector en el espacio. Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) componentes del vector coordenadas del origen. Ejemplo. Determinar la componentes de los vectores que se puedentrazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1). Las coordenadas o

son las coordenadas del extremo menos las

= (3 +3 , 6 -4 , 3 -0 ) = (6 , 2 , 3 ) = (-1 +3 , 2 -4 , 1 -0 ) = (2 , -2 , 1 ) = (-1 -3 , 2 -6 , 1 -3 ) = ( -4 , -4 , -2 )

= ? = ? = ?

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Módulo de un vector El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de unvector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes = (u1, u2, u3) Ejemplo. Dados los vectores = (3, 1, -1) y = (2, 3, 4), hallar los módulos de y ·

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene deextremos dichos puntos.

Ejemplo. Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

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P unto me di o e n R 3 El punto medio del segmento de recta que une a los puntos (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) tiene coordenadas ( Ejemplo. Halle las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une los puntos. (5, -9, 7) y (-2, 3, 3).

,

,

).

V e c tor uni ta ri o Un vectorunitario tiene de módulo la unidad. La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

Suma de vectores Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Ejemplos Dados = (2, 1, 3), = (1, −1, 0), = (1, 2, 3), hallar el vector = (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1,2, 3) = (6, −3, 3)

= 2u + 3v − w.

Dados los vectores

y

, hallar el módulo del vector

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Producto de un número real por un vector El producto de un número real k por un vector es otro vector: De igual dirección que el vector . Del mismo sentido que el vector si k es positivo. De sentido contrario del vector si k es negativo. De módulo Las componentes del vector resultante seobtienen multiplicando por k las componentes del vector. Ejemplo Dado = (6, 2, 0) determinar de modo que sea 3 = .

De fi ni c i ón de ve c tore s pa ral e l os . Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay algún escalar c talque u = cv. Ejemplo. El vector w tiene punto inicial (2, -1, 3) y punto final (-4, 7, 5). ¿Cuál de los vectores es paralelo a w? a) u = b) v = Resolverlo en elaula de clase.

Notación empleando los vectores unitarios

a) Expresar el vector v= 4i -5k por medio de sus componentes. b) Hallar el punto final del vector v= 7i –j +3k, dado que el punto inicial es P(-2, 3, 5). Solución. a) Como falta j, su componente es 0 y v= 4i -5k = b) Se necesita encontrar Q(q1, q2, q3) talque (5, 2, 8) = 7i –j +3k, por lo tanto Q es

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Producto escalar de dos...