Vectores

Suma y resta de vectores
Para coordenadas cartesianas
La suma y resta de vectores se realiza sumando o restando cada una de las componentes de cada uno y da como resultado otro vector.

V1 = (x1, y1)
V2 = (x2, y2)

V1 + V2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+ y2)

Para sumar dos vectores, los mismos tienen que tener la misma cantidad de componentes.

Ejemplo:

V1 = (1, 4, 2)
V2 =(0, 2, 1)

V1 + V2 =  (1, 4, 2) + (0, 2, 1) = (1, 6, 3)
V1 - V2 =  (1, 4, 2) - (0, 2, 1) = (1, 2, 1)

Gráficamente la suma y resta de vectores se puede realizar por el método del paralelogramo, es decir trazar sobre cada vector una recta paralela al otro formando un paralelogramo, cuya diagonal es la suma.


Suma de Vectores. Método Analítico
• Suma de Componentes
La suma gráfica devectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones.
Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendicularesentre sí.

Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera

Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vectorV. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorialVx y sobre el eje y la componente vectorial Vy.
Notemos que V = Vx + Vy de acuerdo al método del paralelógramo.
Las magnitudes de Vx y Vy,o sea Vx y Vy, se llaman componentes y son números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y.
Notar también que Vy = Vsen y Vx = Vcos
• Suma de Vectores Unitarios
Frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos de  unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven paraespecificar una dirección determinada. Se usan los símbolos i, jy k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.

Ahora V puede escribirse
V = Ax i + Ay j 
Si necesitamos sumar el vector A = Ax i + Ay j con el vector
B = Bx i + By j escribimos
R = A + B = Ax i + Ay j + Bx i + By j = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j 
Las componentes de R (=A + B) sonRx = Ax + Bx y Ry = Ay + By

Problema Ilustratorio
El siguiente ejercicio es para aclarar el uso de vectores unitarios en este método analítico.
Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste del Norte. Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto.
Hacemos un diagrama:

Expresando los dos desplazamientos componentes como A y B,indicados en la figura, y usando  unitarios, tenemos:
R = A + B. R es el vector resultante buscado, cuya magnitud se 
denota  y cuya dirección puede determinarse calculando el ángulo .
A = 20 km j, (apunta hacia el Norte).
B debemos descomponerlo en componentes x e y (ó i y j )
B = -(35 km)sen60ºi + (35 km)cos60ºj = -30.3 kmi + 17.5 kmj
Luego,
R = 20 kmj - 30.3 kmi + 17.5 kmj = 37.5j - 30.3i.La magnitud se obtiene de
 2 = (37.5km)2 + (30.3km)2   = 48.2 km
La dirección de R la determinaremos calculando el ángulo . 
En el triángulo formado por cateto opuesto 30.3 y cateto adyacente 37.5, tg = 30.3/37.5  = arctg(30.3/37.5) = 38.9º





PRODUCTO ENTRE VECTORES (multiplicación entre vectores)
Por el contrario que los escalares, los vectores pueden multiplicarse de dos manerasdiferentes: producto escalar y producto vectorial.
El producto escalar es una operación de multiplicar dos vectores cuyo resultado deja de ser un vector: el producto se transforma en un escalar (un número más su unidad si correspondiera).
El producto vectorial es una operación diferente a la anterior, y el resultado es un nuevo vector que tiene todas las características de los vectores....