Vectores

Normas de Vectores y Matrices

Curso 2012-13

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Definici´n y propiedades b´sicas o a
Definici´n o
Sea V un espacio vectorial sobre F (R o C). Una funci´n o ν : V −→ R es una norma en V si νsatisface las siguientes propiedades: (ii) ν(αx) = |α|ν(x), ∀α ∈ F. (i) x = 0 ⇒ ν(x) > 0.

(iii) ν(x + y ) ≤ ν(x) + ν(y ), ∀x ∈ V (desigualdad triangular) Primeras propiedades
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ν(0) = 0porque ν(0) = ν(0x) = 0ν(x) = 0. ν(−x) = ν(x) porque ν(−x) = | − 1|ν(x) = ν(x) |ν(x) − ν(y )| ≤ ν(x − y )

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Ejemplos: Normas
(a) x
1

p

o de H¨lder o

La norma
n

1:

MATLAB: norm(x,1)=
i=1

|xi |.
2

(b) x
2

La norma =

o norma eucl´ ıdea:
n i=1

|xi |2 .

MATLAB:

norm(x),norm(x,2) (c) x La norma ∞ : MATLAB: norm(x,inf) = m´x |xi |. a
1≤i≤n

∞

(d) Lanorma norm(x,p)
n 1/p

p

general: MATLAB:

x

p

=
i=1

|xi |

p

.

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Equivalencia de normas
Sean µ y ν normas definidas en V , espacio vectorial sobre F. Se dice que µ y νson equivalentes si existen n´meros reales positivos c1 y c2 tales que u c1 ≤ ν(x) ≤ c2 , µ(x) ∀x ∈ V .

Definici´n o

Teorema
Todas las normas definidas en un espacio vectorial de dimensi´n finita oson equivalentes.

Lema
(a) Todas las normas definidas en V , espacio vectorial sobre F, son funciones continuas. (b) Si V es un espacio vectorial de dimensi´n finita entonces la esfera o unidad en V, respecto de cualquier norma, es un conjunto compacto.
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Normas de matriz
Definici´n o
Sean µ, ν y ρ normas definidas en Fm×n , Fn×p y Fm×p . Se dice que µ, ν y ρ son consistentes si para todasmatrices A ∈ Fm×n y B ∈ Fn×p se verifica ρ(AB) ≤ µ(A)ν(B). En particular una norma ν definida en Fn×n se dice que es consistente si ν(AB) ≤ ν(A)ν(B) para todas A, B ∈ Fn×n . Una norma ν definida en Fn×nconsistente tambi´n se dice que es e multiplicativa o submultiplicativa. Una norma definida en Fn×n se dice que es una norma de matriz si es consistente. Si µ es una norma en Fn×n y ν en Fn...