Vectores

1. Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

Operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elementoopuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

Operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:

6) sea elemento neutro del producto:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

En el estudio de las matemáticas o de la física, el términovector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección [LWJ98], ya sea un fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones.
Supongamos que tenemos un conjunto donde para y escalares cumplen con las siguientes propiedades:
Propiedad de cerradura
.
.Propiedad de adición
.
.
contiene al elemento 0 con .
Propiedad de multiplicación por un escalar
.
.
.
Entonces se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo abeliano con respecto a la adición (la suma escerrada, asociativa, conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un campo con la inclusión del 0 y del .
Dicho de manera informal, en un espacio vectorial te-nemos elementos los cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir es encontrar todas las características estructurales de estos espacios. Para esto recurriremos a ideas provenientesdel Álgebra Universal, tales como relaciones de orden, relaciones de equivalencia, mapeos de un conjunto a otro y la gene-ración de espacios más complejos por medio de productos cartesianos

2. Sub espacio vectorial:

Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicaciónpor un escalar definidas en V.
Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.

3. Combinación Lineal:

Se denomina combinación lineal a u vector V en un espacio vectorial U u uncuerpo h.
Si los vectores v1, v2, v3, ..., vn en u si V puede expresarse como:
V = c1v1 + c2v2 + c3v3 +... + cnvn donde c son escalares del cuerpo h.
Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector se dice que es una combinación lineal de y .
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquiervector se puede poner como combinación lineal de otros 2 (dos) que tengan distinta dirección Esta combinación lineal es única.

4. Transformaciones Lineales

Se denomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
1.
2. donde k es un escalar.
Así como cuando se estudian las funciones realesinteresan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial.

En síntesis, podemos dar la siguiente definición:...