Vectores

Vectores:

1. Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en elorigen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Vector en el espacio Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene suorigen en un punto y suextremo en el otro.Componentes de un vector en el espaciodel vector ������⃗ se obtienen restando a las coordenadas del extremo las del origen. 𝐴𝐴𝐴𝐴 Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes 1
2. Ejemplo: Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vérticesA(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1,2, 1). Módulo de un vector El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tienemódulo cero. Cálculo del módulo conociendo sus componentes Dados los vectores y , hallar sus módulos Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos 2
3. Distancia entre dos puntos La distancia entredos puntos es igual al módulo del vector que determinan dichos puntos. Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(2, 3, −1). Vector unitario Un vector unitario tiene de módulo la unidad. Normalizar un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para ello se divide cada componente del vector por su módulo. Operaciones con vectoresen el espacioSuma de vectores Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes. Ejemplos = (1, −1, 0), ⃗ Dados = (2, 1, 3), = (1, 2, 3), hallar el vector 𝑋𝑋= 2u + 3v − w. ⃗ 𝑋𝑋 = (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3) ���⃗(2,4,5) 𝑦𝑦 ���⃗(3,1,2) hallar el módulo del vector . ���⃗ − ���⃗ Dados los vectores𝑢𝑢 𝑣𝑣 𝑢𝑢 𝑣𝑣 3
4. Propiedades de la suma de vectores Asociativa +( + )=( +)+ Conmutativa + = + Elemento neutro + = Elemento opuesto + (− )= Producto de un número real por un vector El producto de un número real k ∈ ℝpor un vector ���⃗ es otro vector: 𝑢𝑢 De igual dirección que el vector ���⃗. 𝑢𝑢 Del mismo sentido que el vector ���⃗ si k es positivo. 𝑢𝑢 De sentido contrario del vector ���⃗ si k es negativo. 𝑢𝑢 De módulo Las componentes del vector resultante se obtienenmultiplicando por K las componentes delvector. Propiedades del producto de un número por un vector Asociativa k · (k · ���⃗) = (k · k) · ���⃗ 𝑢𝑢 𝑢𝑢 Distributiva respecto a la suma de vectores k · (𝑢𝑢 ���⃗) = k · ���⃗+ k · ���⃗ ���⃗+ 𝑣𝑣 𝑢𝑢 𝑣𝑣 4
5. Distributiva respecto a los escalares (k + k) ·𝑢𝑢 = k · ���⃗+ k · ���⃗ ���⃗ 𝑢𝑢 𝑢𝑢 Elemento neutro 1 · ���⃗= ���⃗ 𝑢𝑢 𝑢𝑢 Ejemplo Dado ���⃗= (6, 2, 0)determinar ���⃗ de modo que sea 3𝑢𝑢 = ���⃗. 𝑣𝑣 𝑢𝑢 ���⃗ 𝑣𝑣 Dependencia e independencia lineal. Bases Combinación lineal Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esosvectores multiplicados previamente por escalares. Ejemplo: Cualquier vector se puede expresar como combinación lineal de un conjunto de vectores quetengan distinta dirección. Esta combinación lineal esúnica. 5
6. Vectores linealmente dependientes Un conjunto de vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, con la condición de que alguno de los coeficientes de la combinación lineal distinto de cero. Propiedades 1. Si un conjunto de vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos sepuede expresar como combinación lineal de los demás. Si son linealmente dependientes Con alguno de los coeficientes distinto de cero. Despejando tendremos: También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces los vectores son linealmente dependientes. 2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos. 3.Dos vectores libres del plano...