Vectores

Suma de vectores
La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.

1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en negro. Véase que en física los vectores en rojo simulan ladescomposición de fuerzas ejercidas por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.

2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores puedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.

3) Decir que existe un vector cero (elemento neutro) tal que u+0=u, equivale a exigir que exista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma,modificación alguna a todos los vectores.

4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento opuesto, -u, que sumado a u simplifique en un vector cero.




Cap ́ ıtulo 2
Normas de Vectores y Matrices
2.1. Introducci ́n o
En este cap ́ıtulo repasaremos brevemente el concepto de norma de un vector para
centrarnos en el estudio de las normas de matrices o, sise quiere, en las normas de
los operadores lineales. El estudio de las normas de matrices es importante por
varias razones. Es necesario, por ejemplo, para definir de forma precisa conceptos
tales como series de potencias de matrices; y desde luego es b ́sico para precisar lo
a
que se entiende por proximidad o lejan ́ entrematrices, aspectos fundamentales en
ıa
el an ́lisis de algoritmos en la computaci ́n num ́rica. Un par de ejemplos pueden
a o e
servir para ilustrar estas ideas.
Es conocido que si x es un n ́mero complejo de m ́dulo menor que 1 entonces
u op1 ¡ xq¡1 # 1 x x2 x3 . . .
Esto sugiere la f ́rmula
o
pI ¡ Aq¡1 # I A A2 A3 . . .
31
32 Normas de Vectores y Matrices
para calcular la inversa de la matriz I ¡ A. Pero ¿cu ́ndo es tal f ́rmula v ́lida?.a o a
Resulta que es suficiente que una norma de la matriz A sea menor que 1, y adem ́s a
cualquier norma sirve. De forma parecida se puede ver que bajo ciertas condiciones
relativas a la norma de A la serie
V
̧1Ak
k
i#0
es convergente y sirve para definir la funci ́n matricial eA .
o
Por otra parte, el c ́lculo num ́rico con matrices que proceden de datos experi-
a e
mentales, no es exacto; por lo generalmatrices est ́n sometidas, bien sea por errores
a
de redondeo o por imprecisi ́n en las mediciones,a peque ̃as perturbaciones. Cu ́n
o n a
peque ̃as son estas perturbaciones, o lo que es lo mismo, cu ́n lejos est ́ la matriz
na a
verdadera de la calculada son conceptos que se pueden hacer precisos utilizando
normas.
En todo este cap ́ ıtulo supondremos que F es el cuerpo R de los n ́meros reales
u
o el cuerpo C de los n ́meros complejos.
u
2.2. Normas de Vectores...