vectores

VECTORES
Recta orientada – Eje: Una recta r es orientada cuando si fija en ella un sentido,
considerado positivo y se indica por una flecha
r

El sentido opuesto es negativo. Una recta orientada se denomina eje.

Segmento orientado: Un segmento orientado está determinado por un par ordenado de
puntos, el primero llamado origen del segmento, el segundo extremo. Un segmento orientado de
origen A yextremo B se representa por AB .
B
A

Segmento nulo: Es aquel cuyo extremo coincide con su origen.
Segmentos opuestos: Si AB es un segmento orientado, el segmento orientado BA es opuesto a
AB .
Medida de un segmento orientado: Fijado una unidad de medida, a cada segmento orientado se
le puede asociar un número real, no negativo, que es la medida del segmento con relación a
aquella unidad. Lamedida del segmento orientado es su longitud ó módulo, que se denota por
AB .

Dirección y sentido: Dos segmentos orientados no nulos AB y CD tienen la misma dirección si
las rectas soportes de los segmentos son paralelos o coinciden.

Observaciones:
a)
b)

Sólo se puede comparar los sentidos de dos segmentos orientados si ellos tienen la misma
dirección.
Dos segmentos orientados opuestos tienensentidos contrarios.

Segmentos equipolentes: Dos segmentos orientados AB y CD son equipolentes cuando tienen
la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo. Si AB y CD son equipolentes lo
denotamos por AB CD
Si los segmentos AB y CD no pertenecen a una misma recta, AB y CD son
equipolentes si y sólo sí AB / / CD y AC / / BD , esto es, si ABCD es un paralelogramo.

Propiedades de laequipolencia entre segmentos:
a)
AB AB (reflexiva).
b)
Si AB CD entonces CD AB (simétrica).
c)
Si AB CD y CD EF , entonces AB EF (transitiva).
d)
Dado un segmento orientado AB y un punto C , existe un único punto D , tal que
AB CD .

Vector: Vector determinado por un segmento orientado AB es el conjunto de todos los
segmentos orientados equivalentes a AB .



Si indicamos con v este conjunto, podemosescribir v  XY XY



AB .

Un mismo vector AB está determinado por una infinidad de segmentos orientados,
llamados representantes de este vector, y todos equipolentes entre sí. Las características de un
vector v son las mismas que cualquiera de sus representantes, es decir, el módulo, la dirección
y el sentido del vector, son el módulo, la dirección y el sentido de cualquiera de sus
representantes.El módulo de v se indica por v .
Vectores iguales: Dos vectores AB y CD son iguales sí, y solamente si AB CD .
Vector nulo: Los segmentos nulos, por ser equivalentes entre sí, determinan un único vector,
llamado vector nulo o vector cero, y que lo denotamos por 0 .
Vectores opuestos: Dado un vector v  AB , el vector BA es el opuesto de AB y se indica por
 AB o por v .
Vector unitario: Un vectorno nulo v es unitario si v  1 .
Versor: El versor de un vector no nulo v es el vector unitario de la misma dirección y mismo
sentido que v .
Vectores colineales: Dos vectores u y v son colineales si tienen la misma dirección.
Vectores coplanares: Los vectores no nulos u , v y w (el número de vectores no importa) son
coplanares si y sólo si poseen representantes AB , CD y EF pertenecientes a unmismo plano
.

Observación: Dos vectores u y v son siempre coplanares. Tres vectores pueden no serlo.

Operaciones con vectores
1.

Adición de vectores: Sean los vectores u y v representados por los segmentos orientados
AB y BC , respectivamente. La suma de los vectores u y v , denotado por u  v , es el
vector s  u  v determinado por los puntos A y C .

Propiedades:
a.
Conmutativa: u  v  v u .
b.
Asociativa: u  v  w  u  v  w .









c.
d.

Existe un único vector nulo 0 tal que para todo vector v se tiene que v  0  0  v  v .
Cualquiera sea el vector v , existe un único vector v tal que v  v  v  v  0 .

2.

Diferencia de vectores: Se llama diferencia de dos vectores u y v , y se representa por
d  u  v , al vector u  v .

 

 

Dados los vectores u y v...