Vectores

Vectores
CAPÍTULO 7

Contenidos
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7.1 Vectores en 2 Dimensiones
7.2 Vectores en 3 Dimensiones
7.3 Producto Escalar
7.4 Producto Vectorial
7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones
7.6 Espacios Vectoriales
7.7 Proceso de Ortogonalización de
Gram-Schmidt

7.1 Vectores en 2 Dimensiones
• Repaso de Vectores
Vuelva a la Fig 7.1 después de la Fig 7.6.

Fig 7.1 (Vectores geométricos)

Fig7.2 (Vectors equivalentes)

Fig 7.3 (Vectores paralelos)

Fig 7.4 (suma)

Fig 7.5 (resta)

Fig 7.6 (vectores de posición)

Ejemplo 1
• Observe la Fig 7.7.
Fig 7.7

DEFINICIÓN 7.1

Suma, Producto por un Escalar, Igualdad

Sea a = , b = vectores en R2
(i) Suma: a + b =
(1)
(ii) Producto por un escalar: ka = ,
k es un escalar
(2)
(iii)Igualdad: a = bsi y sólo si a1 = b1, a2 = b2 (3)
a – b =
uuur uuur uuur
P1P2  OP2  OP1   x2  x1 , y2  y1 

(4)

Solución Gráfica
• Fig 7.8 ilustra las solucones gráficas de suma y
resta de dos vectores.

Ejemplo 2
Si a = <1, 4>, b = <−6, 3>, hallar a + b, a − b, 2a +
3b.
Solución
Usando (1), (2), (4), tenemos
a  b  1  ( 6), 4  3   5, 7 
a  b  1  ( 6), 4  3  7, 1 2a  3b  2, 8     18, 9   16, 17 

Propiedades
• (i) a + b = b + a
(ii) a + (b + c) = (a + b) + c
(iii) a + 0 = a
(iv) a + (−a) = 0
(v) k(a + b) = ka + kb
k escalar
(vi) (k1 + k2)a = k1a + k2a k1, k2 escalares
(vii) k1(k2a) = (k1k2)a
k1, k2 escalares
(viii) 1a = a
(ix) 0a = 0 = <0, 0>
• 0 = <0, 0>

Longitud, Norma
2
2
||
a
||

a

a
• a = , entonces
1
2

Naturalmente, tenemos||a||  0, ||0|| = 0

Vector Unitaros
• Un vector cuya norma vale 1 se denomina
vector unitario.
u = (1/||a||)a es un vector unitario, puesto
que
1
1
|| u || 
a 
|| a ||1
|| a ||
|| a ||

Ejemplo 3
• Dado a = <2, −1>, el vector unitario en la
misma dirección u es
1
1
2 1
u  a   2,  1 
,
5
5
5 5

y

2 1
 u 
,
5 5

Los vectores i, j
• Si a = , entonces
 a1 , a2 
(5)
a1 ,0    0, a2  a1  1, 0  a2  0, 1 
Sea i = <1, 0>, j = <0, 1>, entonces (5) se transforma
en
a = a1i + a2j(6)

Fig 7.10

Ejemplo 4
• (i) <4, 7> = 4i + 7j
(ii) (2i – 5j) + (8i + 13j) = 10i + 8j
(iii) || i  j ||  2
(iv) 10(3i – j) = 30i – 10j
(v) a = 6i + 4j, b = 9i + 6j son paralelos
y b = (3/2)a

Ejemplo 5
Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b
Solución
Fig 7.11

7.2Vectores en 3 Dimensiones
• Repaso
Vualva a la Fig 7.22 después de la Fig 7.24.
• Fig 7.22

Fig 7.23

Fig 7.24

Ejemplo 1
Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0).
Solución
Fig 7.25.

Formula de Distancia
2

2

d ( P1 , P2 )  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( z2  z1 )

• Fig 7.26

2

(1)

Ejemplo 2
Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)
Solución
2

2

2

d  (2  ( 1))  ( 3 ( 7))  (6  4)  29

Formula del Punto Medio
 x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 


2
2 
 2

(2)

Ejemplo 2
Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)
Solución
De (2), tenemos
 2  ( 1) ,  3  ( 7) , 6  4   1 ,  5, 5 

 

2
2  2
 2


Vectores en 3 Dimensiones
a  a1 , a2 , a3 

• Fig 7.27.

DEFINICIÓN 7.2

Definiciones en 3 Dimensiones
Sea a = , b = en R3
(i)
a + b =
(ii)
ka =
(iii)
a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3
(iv)
–b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3>
(v)
a – b =
(vi)
0 = <0, 02, 0> 2
|| a ||  a1  a2  a32
(vi)

Fig 7.28

Ejemplo 4
Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3)
Solución
P1P2 OP2  OP1
 1  4, 8  6, 3  ( 2) 
  3, 2, 5 Ejemplo 5
• De la Definición 7.2, tenemos
2

2

2

2  3  6
4  9  36

|| a ||          
1
49
 7 7 7

Los vectores i, j, k
• i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1>
 a1 , a2 , a3 
 a1 , 0, 0    0, a2 , 0    0, 0, a3 
a1  1, 0, 0  a2  0, 1, 0  a3  0, 0, 1 

a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j + a3j

Fig 7.29

Ejemplo 6
a = <7, −5, 13> = 7i − 5j +...

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