VECTORES
Definición de vector:
Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Módulo del vector:
Es la longitud del segmento AB, se representa por
Dirección y sentido del vector:
Dirección de un vector:
Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentido del vector:
El que va del origenA al extremo B.
Vectores opuestos:
Dos puntos A y B determinan dos vectores fijos y , con sentido distinto, que se llaman vectores opuestos.
Vector nulo:
Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.
Vector posición. Coordenadas de un Vector
1 Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas
El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llamavector de posición del punto P.
2 Coordenadas o componentes de un vector en el plano
Si las coordenadas de A y B son:
Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
Ejemplo:
Hallar las componentes de un vector cuyos extremos son:
Un vector tiene de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, −3).Vectores equipolentes y libres
Vectores equipolentes
Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.
Si y son vectores equipolentes, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
Ejemplo:
Calcula las coordenadas de C para que el cuadrilátero de vértices: A(-3, -4), B(2, -3), D(3, 0) y C; sea un paralelogramo.
Dos vectores son equipolentes cuando tienenigual módulo, dirección y sentido.
Si y son vectores equipolentes, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
Ejemplo:
Calcula las coordenadas de C para que el cuadrilátero de vértices: A(-3, -4), B(2, -3), D(3, 0) y C; sea un paralelogramo.
Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un númerosiempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
1 Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Ejemplo:
2 Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Ejemplo:
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.
Ejemplo:
Vector unitario
Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.Normalizar un vector
Normalizar un vector consite en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado.
Para normalizar un vector se divide éste por su módulo.
Ejemplo:
Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.
Suma y resta de vectores
Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres y se escogen comorepresentantes dos vectores tales que el extremode uno coincida con el origen del otro vector.
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectoresobteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Propiedades de la suma devectores
1 Asociativa
+ ( + ) = ( + ) +
2 Conmutativa
+ = +
3 Elemento neutro
+ =
4 Elemento opuesto
+ (− ) =
Resta de vectores
Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.
Ejemplo:
Ejercicios
Ejercicios del vector posición y coordenadas de un vector
Escribe lascomponentes de cada vector:
1A = (2, 1), B = (3, 5)
,
2C = (3, 7), D = (4, 5)
,
3A = (2, 8), B = (6, 0)
;,
4B = (−2, 1), C = (8, 1)
,
5P = (0, 3), Q = (3, 1)
,
6A = (5, 9), B = (1, 4)
,
Completa las coordenadas de los siguientes puntos usando los datos proporcionados:
7A = (5, 9), = (2, 7)
B = ,
8B = (0, 7), = (3, 1)
A = ,
9A = (2, −4), = (3, 5)
B = ,
10B = (7, −3), = (−2, −5)
A = ,
Ejercicios...
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