Vectores

INTRODUCCION A LOS VECTORES

PROBLEMAS RESUELTOS
1.

Hallar el vector resultantede dos vectoresfuerza de 4 kp y 3 kp aplicaclosen un punto O y formando
un iingulo de a) 90', ó) ó0". Aplicar el método del paralelogramo.
Solución grAtica
En cada uno de los casos se comienza dibujando los
dos vectores OA y OB, de forma que sus módulos representen 4 kp y 3 kp a la escala elegida y formando losángulos
que dice el enunciado. Se constiuye el paralelogramo trazando BR paralela a OA y AR paralela a OB.
La diagonal OR representa, en cada uno de los casos,
el vector resultante de los dos dados.

4

(ó)

(a)

En (¿), midiendo OR con la escalaadoptada se obtiene 5 kp. El ángulo e, medido con un semiclrculo
graduado, resulta de 37oEn (á), OR representa6,1 kp y el ángulo ¡ vale 25o.

Solución snalitica(a) OARes un triángulorectángulo.EntoncesOR2 : 42 * 32: 25 y OR : 5 kp.
.ARJ : 37o
:
:o,75
:
y
7 : tg-r0,75(esdecir,ángulocuyatangenrees0,T5)
rg
"
.
6j
;
(r) LOAR :120o, Para calculai el módulo del vector resultanteOR, se aplica la ley o teoremadel coseno.
ORz: OA2+ ARz-2(OA)(AR) cos l20o: 42 + 32-2(4X3X- O,5): 37

y

OR:

6,1 kp.

Para calcular a se aplica el teoremade los senos.
0.86Á
sen d
len" : sen 12@ o
Deaquísena-0,43 y ¿:S€n-r0,43:25o.
l- : : - t r
AR
;?
Nota. sen l20o : sen(1800- l20o) : sen 600,cos 120" -_-- cos (180o- l20o) : - cos ó0o.
2.

Resolver el Problema I por el método del polígono vectorial.
Solución gráfic¡
En amboscasossedibuja el v*tot OA que represe¡lte
una fuerzade 4 kp. DesdeI selleva lR : 3 kp, formando con el anterior el ángulo correspondiente.Se traz¿ OR
paracompletarel triángulo
El vector OR es el resultantey su módulo es igual
O
a 5 kp en (¿) y 6,1 kp en (á).
La resoluciónanalíticaes exactamenteigual a la del
Problemal.

3.

4
(o)

(b)

Cuatro vectoresfuerza coplanariosestánaplicadosa un cuerpo en un punto O, como indica la Fig. (o),
Hallar gráficamente su resultante.

ló0

(b)

Solución
A partir de O se trazan los cuatro vectores,uno acontinuaciónde otro, dG maneraque el origen de cada
uno coincida con el extremo del anteridr, como se indica en ta Fig. (á). El vector R que une el origen del
prinrr vector con el extremo del i¡ltimo es el vector resultante.
Midiendo R en la escalautilizada se cncuentrael valor I 19 kp. El ángulo r, medido con un semicírculo
lr¿duado, vale 37o.Por tanto, el módulo de X es l19 kp y su direcciónforma un ángulode37ocon el semiejex
ry¡rivo (o bien, un ángulo 0": 180"- a: l43o con el semieje.t positivo).

INTRODUCCION

4,

A IJOS VECTORES

Hallar gráficamente las siguientes sumas y diferencias con los vectores A, B y c.
a ) A+8 ,
b) A+ B+ C,
c ) A- 8,
d \ A +B - C .
Solución
Las.nperacionespedidasse observanen las Figs. (a) a (d). La Fig. (c) representata operaciónA - B :
: A + (- B); es decir, pararestarel vector B del A, se suma vectorialménte,{
con el opüestode B. A¡álog ame nte ,en (d) , s er epr es ent alaoper ac iónA+ B - C : A ¡ B +( - C ) , s i e n d o _ C e l v e c t o r o D u e s t o a l C .

4',
I

I
I

$/

{/

i/^

I
I

I

:/

ul

ri/

rl

TI
Jl' t
(b,

(c)

(d)

5. Sabiendoque el módulo del vector resultanted-eotros dos, correspondientes
a sendasfuerzasperpendiculares,
es de 100kp, yque uno de ellosforma un ángulode 30. con dicha resultant.,tt"tt".
esta fuerza.
Solucién
Se construyeun rectángulo de manera que la diagonal forme
un ángulode 30ocon la horizontal y cuya longitud represente100kp.
Tambiénsepuedeconstruirun triángulorectángulocuya hipó_
tenusa forme un ángulo de 3@ con la horizontal y cuya iongiiud
r€presente100 kp.
X: 100 x cos 30o: 100 x 0,8ó6: 86,6kp.

4

6.Sabiendo que el vector fuerza resultante de otros dos que for-

man un ángulo recto es de l0 kp, y que uno de ellos es calcular el otro.

Solución
Sea IZel vector fuerza buscado.Se construyeun rectángulode
forma que uno de sus lados representaun vector fuerza det kp y
su diagonal al de l0 kp, El otro lado representaráy.
También se puedeconstruir un triángulo rect¿i{rgulo
de manera
que...

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