Vectores

Vectores W. Barreto Mayo, 2008. Un vector es un objeto geom´trico que vive en un determinado espacio; es mucho m´s que un e a n´mero real, que un escalar. Tiene direcci´n y sentido, adem´s de magnitud. Si el vector vive en un u o a espacio de dimensionalidad mayor que tres, nos resulta dif´ imaginarlo; en general puede definirse ıcil en un espacio de dimensi´n n. No vamos a considerar aqu´vectores en espacios de dimensi´n mayor o ı o que tres. Cuando se trata de un vector en tres dimensiones podemos hacer una descomposici´n o de ´ste en t´rminos de tres vectores unitarios y ortogonales (vectores base), es decir, linealmente e e independientes. Si dos vectores son ortogonales o perpendiculares no podemos obtener uno a partir del otro, este es el significado de independencia lineal. Tambi´npodemos hacer una descompoci´n e o del mismo vector en t´rminos de dos vectores unitarios ortogonales (ortonormnales) entre si; en este e caso el vector queda embebido en un espacio bidimensional. Es mas, este mismo vector puede quedar embebido en un espacio unidimensional si lo expresamos a trav´s del vector unitario en la direcci´n e o del mismo vector. Definiremos las operaciones vectoriales quenos permitir´n demostrar lo antes a se˜alado o visualizado. n Albert Einstein dijo que m´s importante que el conocimiento es la imaginaci´n. a o El mundo f´ ısico es uno s´lo y podemos interpretarlo de diversas formas si somos creativos. o
I. OPERACIONES VECTORIALES

Un vector se define como un segmento de recta orientado, es decir, posee magnitud, direcci´n y o sentido. Podemos visualizar unvector como una zaeta, pues tiene una cola y una punta. As´ el ı, → − vector A lo representamos algebraicamente por A . Una operaci´n vectorial b´sica es el producto de o a un escalar por un vector, que pudiera tener el efecto de modificar su amplitud y su sentido, pero no su direcci´n. Si multiplicamos un vector cualquiera por el inverso de su magnitud el resultado ser´ o a un vector de magnitudunitaria o vector unitario en la direcci´n y sentido del vector original. As´ o ı, el vector original se puede escribir → − A = Aˆ− . u→ (1) A Otra operaci´n b´sica es la suma de vectores. Si multiplicamos cualquier vector por −1, cambiando o a su sentido pero no su magnitud y direcci´n, podemos entonces restarlo a cualquier otro. Un cono junto de vectores se suman gr´ficamente concaten´ndolos de lasiguiente forma: Escogemos cualquier a a vector y le unimos en su punta la cola de otro hasta completar la cadena de vectores. El vector resultante va desde la cola del primer vector de la cadena hasta la punta del ultimo. Una situaci´n ´ o especial ilustrativa es la suma n veces del mismo vector unitario con una fracci´n de este (si la mago nitud del vector resultante no es un n´mero entero). Lanoci´n de suma nos permite tambi´n hacer u o e la descomposici´n de cualquier vector en t´rminos de dos vectores que son ortogonales entre si. En o e general esta descomposici´n no tiene por que ser ortogonal, de hecho hay infinidad de descomposio ciones no ortogonales, pero la ortogonal es unica. La descomposici´n de un vector o suma de tres ´ o vectores ortogonales sigue naturalmente (regrese ala Figura 1 y “l´ala” de nuevo). Las propiedades e conmutativas y distributivas se pueden aplicar tambi´n a la suma de vectores y al producto de un e escalar por un vector. Esto es, → → − − − − → → A + B = B + A, (2)

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→ − − → α A = A α, → − → − → − (α + β) A = α A + β A , → → − − → − → − α( A + B ) = α A + α B .

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Entre dos vectores se pueden realizar otrasoperaciones, el producto escalar “ ◦ ” y el producto vectorial “ ×”. El producto escalar se define como → → − − A ◦ B = AB cos θ, (6) donde θ es el ´ngulo entre los dos vectores. Es claro que el resultado de este producto es un escalar. a Si los vectores son perpendicuales entre ellos, el producto escalar es nulo. El producto escalar es conmutativo y distributivo (respecto a la suma): → → − − − − → → A ◦ B...