Vectores2012

Unidad 4: Vectores
4.1

Introducción

En este capítulo daremos el concepto de vector, el cual es una herramienta fundamental tanto para la física como
para la matemática.
La historia de los vectores se remonta al año 1843, cuando el matemático William Hamilton descubrió un
nuevo sistema de números que venia a extender el sistema de los números complejos. Eran los cuaternios. Así
como todo númerocomplejo es de la forma a + bi, un cuaternio es una expresión de la forma
a + bi + cj + dk
donde a; b; c; d son números reales e i; j; k son objetos que satisfacen ciertas reglas bien de…nidas. Los cuaternios
encontraron pronto aplicaciones físicas interesantes, pero no resultaban fáciles de manejar. Los físicos Gibbs y
Heaviside a …nes de siglo XIX decidieron facilitar la aplicación de loscuaternios de Hamilton tomando de ellos
solamente la parte no real, bi + cj + dk. Resultaba así un objeto matemático que Gibbs lo llamó vector.
Comenzaremos el estudio de los vectores en forma geométrica, el cual es un segmento caracterizado por su
longitud (o módulo), dirección y sentido (u orientación). Posteriormente, estudiaremos los vectores en forma
algebraica, es decir, hablaremos de vectores delplano R2 , espacio R3 ; y en general de Rn : Si bien sólo podemos
visualizar vectores en dos y tres dimensiones los vectores de un espacio n dimensional son útiles para representar
y manipular información e…cientemente.

4.2
4.2.1

Vectores: enfoque geométrico
De…niciones y notación

Llamamos magnitud física a toda aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa, el volumen,
lavelocidad o la temperatura son magnitudes físicas. El aroma o la simpatía, puesto que no pueden medirse, no
son magnitudes físicas.
Para muchas magnitudes físicas, basta con indicar su valor para que estén perfectamente de…nidas. Así, por
ejemplo, si decimos que José tiene una temperatura de 38 o C, sabemos perfectamente que tiene …ebre y si Rosa
mide 165 cm de altura y su masa es de 45 kg, está claroque es delgada. Cuando una magnitud queda de…nida
por su valor, un número acompañado de una unidad, recibe el nombre de magnitud escalar.
Otras magnitudes, con su valor numérico, no nos suministran toda la información. Así si nos dicen que Daniel
corre a 20 km/h apenas sabemos algo más que al principio. Deberían informarnos también desde donde corre y
hacia qué lugar se dirige. Estas magnitudesque, además de un valor numérico, se describen señalando también una
dirección y un sentido se llaman magnitudes vectoriales y se representan mediante vectores. Podemos visualizar
un vector (en el plano o en el espacio tridimensional) como un segmento de recta dirigido o una ‡echa.
Así cada vector queda identi…cado por tres características fundamentales: módulo o longitud, dirección y
sentido.módulo
dirección
sentido
Módulo de un vector es la longitud del segmento que lo representa.
Dirección de un vector es la recta a la cual pertenece o cualquier recta paralela a ésta.
Sentido de un vector está dado por la orientación del segmento que lo representa. Cuando lo representamos por
una ‡echa, el sentido está dado por donde apunta la punta de la ‡echa

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Álgebra 2013, segundo cuatrimestre

!! !
Notación: Usaremos AB para denotar el vector con punto inicial A y punto …nal B: Usaremos u , v , !
w o
u; v; w; para denotar vectores cuyos puntos extremos no están especi…cados a los que denominaremos vectores
libres.
!
El módulo de un vector se indica con la letra que designa al vector entre barras. Así, el módulo del vector v
!
se denota v .
!
!
El vector con módulo cero o simplementevector nulo se lo denota por 0 ; 0 o 0 :
Si dos vectores tienen la igual dirección y módulo pero sentido opuesto decimos que son vectores opuestos, y
!
!
denotamos al opuesto de v por v :
!
v
!
v
Vectores iguales
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque di…eran en su posición,
es decir, en sus punto de aplicación). Por lo tanto, si dos vectores se...