Vectorial 4

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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables…………………………….……………..2 4.2. Gráfica de una función de dos variables……………………………….……………….2 4.3. Curvas y superficies de nivel…………………………………………………..……………..3 4.4. Límites y continuidad……………………………………………………………………..……..6 4.5. Definición de derivadas parciales de funciones de dos variables, así como suinterpretación geométrica…………………………………………………………………………………………………………8 4.6. Derivadas parciales de orden superior……………………………………………..……9 4.7. Incrementos, diferenciales y regla de la cadena…………………………………...9 4.8. Derivación parcial implícita……………………………………………………..…………….12 4.9. Coordenadas cilíndricas y esféricas………………………………………..……………..14 4.10. Derivada direccional, gradiente, divergencia y rotacional……………………..154.11. Aplicaciones geométricas y físicas de los operadores vectoriales………....17

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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4.1. Definición de una función de dos variables La primera parte de esta asignatura se ha centrado en el estudio de las funciones de una variable, ������: ℝ → ℝ Lo que sigue ahora, es el estudio de las funciones de dos variables. ������: ℝ2 → ℝ Estas funciones se representan amenudo mediante el símbolo z = f(x,y). Una función de dos variables tiene como dominio parejas de números (así que se le asignará un número nuevo a cada una de estas parejas). En general, el dominio de una función con n variables (n ≥ 1) está formado por puntos con n coordenadas, y la función asocia a cada punto un número real determinado. Una función con n variables es una regla f que asocia acada punto (x1, x2, . . . , xn) dentro de un determinado conjunto D un número real f(x1, x2, . . . , xn). El dominio D es un subconjunto de Rn, es decir, está formado por puntos con n coordenadas. Representaremos esta función escribiendo:

Cuando queramos indicar la acción de la función sobre un punto, entonces escribiremos:

4.2.

Gráfica de una función de dos variables La grafica de unafunción de dos variables es el conjunto de puntos (x,y,z) tales que ������ = ������ ������, ������ ������ ������ ∈ ������. Es decir, ������������������������ ������ = ������, ������, ������ ������, ������ |(������, ������) ∈ ������

La grafica de una función de dos variables z = f(x, y) puede interpretarse geométricamente como una superficie S en el espacio de tal forma que su proyección sobre elplano xy es D, el dominio de f. En consecuencia, a cada punto (x,y) en D le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y) en D.

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4.3.

Curvas y superficies de nivel MAPAS DE ALTURAS Y CURVAS DE NIVEL La grafica de una función h de una sola variable es la representación de un conjunto de puntos de la forma(x, y) tales que y = h(x). Cuando tenemos una función f de dos variables, la grafica tiene que representar conjuntos de puntos de la forma (x, y, z) tales que z = f(x, y). Por este motivo, para representar la grafica de una función de dos variables necesitamos tres dimensiones. En el caso de la grafica tridimensional, partimos de tres ejes perpendiculares entre sí: en los dos ejes horizontalesrepresentamos las variables x e y, y en el eje vertical representamos los valores z que toma la función.

Hemos denominado los ejes con las letras X, Y y Z, respectivamente. A cada valor de las variables x e y le corresponde un punto (x, y) del plano que se encuentra en la base. Por ´ ultimo, la función f asocia un valor z = f(x, y) al punto (x, y). Con la grafica nos podemos imaginar el grafo deuna función de dos variables como una sábana por encima (o por debajo, si la función toma valores negativos) del plano donde están los puntos (x, y). También podemos establecer un símil con una montaña, de forma que para describir el comportamiento de la función nos interesará saber si la pendiente es muy fuerte o no en una determinada dirección, junto con donde se encuentran las cumbres y los...