Vectorial

´ Universidad Autonoma de ´ Ciudad Juarez

´ Calculo en Varias Variables.

´ ´ Luis Loeza Chin, Elifalet Lopez Gonzalez.
´ Ciudad Juarez Chih. Noviembre de 2010

´ Departamento de F´ ısica y Matematicas ´ y Tecnolog´ Instituto de Ingenierıa ıa

´ CALCULO EN VARIAS VARIABLES
Luis Loeza Chin, Elifalet L´pez Gonz´lez o a
Instituto de Ingenier´ y Tecnolog´ ıa ıa Universidad Aut´noma deCiudad Ju´rez. o a

http://www.uacj.mx

Titulo: C´lculo en Varias Variables. a Autor: Luis Loeza Chin y Elifalet L´pez Gonz´lez. o a A X (Editor adecuado para textos cient´ Compilador: L TE ıficos.) A Edici´n en L TEX Isaac Hasse Armengol. o ultima compilaci´n: Noviembre de 2011. ´ o N´ mero de p´ginas: 48. u a Lugar: Ciudad Ju´rez, Chih., M´xico. a e Cursos relacionados: C´lculo en variasvariables I, II, An´lis vectorial, a s An´lisis Matem´tico II. a a

´ Indice general

Carta descriptiva Introducci´n. o

V

IX

I

Ejercicios resueltos de C´lculo en varias variables a
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1
3 3 6 6 6 9 9 9 13 16 21 21 22

1.Vectores y Gradientes 1.1. C´lculo de vectores . . . . . a 1.2. Gradientes . . . . . . . . . . 1.2.1. Derivadas parciales . 1.2.2. Calculo de gradientes

2. Integrales dobles 2.1. Aplicaci´n del Teorema de Fubini . . . . . o 2.1.1. Teorema de Fubini . . . . . . . . . 2.1.2. Integraci´n sobre regiones generales o 2.2. Principio de Cavallieri . . . . . . . . . . . 2.3. Integraci´n en coordenadaspolares . . . . o 2.3.1. Coordenadas polares . . . . . . . . 2.3.2. Cambio a coordenadas polares . . .

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3. Integrales triples 27 3.1. Integrales triples sobre paralelogramos . . . . . . . . . . . .. . 27 3.2. Integrales sobre regiones mas generales . . . . . . . . . . . . . . 29 4. Miscelanea. 4.1. La integral doble sobre un rect´ngulo. . . . . . a 4.2. La integral doble sobre regiones m´s generales. a 4.3. El cambio de orden de integraci´n. . . . . . . o 4.4. Integrales impropias. . . . . . . . . . . . . . . 31 31 31 32 33

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4.5. La integral triple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Cambio de variables en la integral doble. . . . . . 4.7. La integral de arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Integrales de l´ ınea. . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.9. Area de una superficie. . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Integral de funciones escalares sobresuperficies. . 4.11. Integral de funciones vectoriales sobre superficies. 4.12. Teorema de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13. ´rea de una regi´n usando el Teorema de Green. . a o 4.14. Teorema de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . 4.16. Teorema de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ ıa

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Introducci´n. o

El An´lisis Vectorial es un campo de las matem´ticas referidas al an´lisis a a a real multivariable de vectores en 2 o mas dimensiones. Es unenfoque de la geometr´ diferencial como conjunto de formulas y t´cnicas para solucionar ıa e problemas muy utiles para la ingenier´ y la f´ ´ ıa ısica. Estudiaremos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un...