vectorial

´
CALCULO VECTORIAL
˜
GUADALUPE MUNOZ MART´
INEZ
Enero 2008

2

Cap´
ıtulo 1

´
INTRODUCCION
1.1.

N´ meros Reales
u

N´meros naturales N, son los s´
u
ımbolos que se usan para contar los elementos de un conjunto. 1, 2, 3, · · ·
N´meros Enteros Z se clasifican en positivos, negativos y cero y se generan
u
al anteponer a cada n´mero natural un signo + ´ −. −3, −2, −1, 0,1, 2 etc.
u
o
N´meros racionales Q se conocen tambi´n como fracciones y son aquellos
u
e
que se escriben de la forma p donde p y q son enteros (q = 0). p se llama
q
numerador y q denominador.
N´meros irracionales I son aquellos que no se pueden escribir de la forma
u
√
p
2, e.
q donde p y q son enteros. π,
El conjunto de todos los n´meros racionales e irracionales se llama conjuntou
de los n´meros reales R. As´ R = Q ∪ I .
u
ı,

1.1.1.

Representaci´n Geom´trica de los n´ meros reales
o
e
u

La representaci´n geom´trica de los n´meros reales se hace sobre una recta
o
e
u
num´rica, asignando a cada n´mero un punto y s´lo uno sobre la misma. A esta
e
u
o
relaci´n entre n´mero y punto se le llama correspondencia biun´
o
u
ıvoca o uno a
uno.
Si seescribe a ∈ R, quiere decir que a es un elemento del conjunto R, es
decir, que a es un n´mero real.
u
El valor absoluto de un n´mero a se escribe |a| y se define como
u
a si a ≥ 0
−a si a ≤ 0
Para el valor absoluto de dos n´meros se cumple la desigualdad
u
|a| =

|a + b| ≤ |a| + |b|
3

(1.1)

(1.2)

4

´
CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION

Figura 1.1: Representaci´n geom´trica de R.
oe

Figura 1.2: Semirrectas positiva y negativa.

1.2.

SISTEMAS COORDENADOS

Para localizar una configuraci´n geom´trica es necesario definir una forma
o
e
de referencia. Entre las formas de referencia m´s simples est´n los sistemas
a
a
de coordenadas cartesianas. La caracter´
ıstica principal de estos sistemas es la
asociaci´n de cada punto que compone una l´
o
ınea recta con latotalidad de los
n´meros reales, es decir, se hace corresponder a cada n´mero real un punto
u
u
unico sobre la recta y viceversa.
´
Consid´rese una recta X y un punto O en ella denominado origen. El punto
e
O divide a la recta en dos semirrectas, la parte a la izquierda de O se llamar´ semirrecta negativa y la parte a la derecha de O semirrecta positiva.
a
Escogiendo sobre la semirrectapositiva un punto A puede definirse la unidad
de longitud para la recta como el segmento OA. OA = 1.
Una vez establecida la unidad de longitud se colocan marcas consecutivas
con espacios entre ellas iguales a esta longitud obteni´ndose as´ una graduaci´n
e
ı
o
de la recta.
Para relacionar los puntos de la recta X con un conjunto de n´meros reales
u

Figura 1.3: Unidad de longitud.1.2. SISTEMAS COORDENADOS

5

Figura 1.4: Recta graduada.
se escoge un punto P sobre ella y se define el n´mero x asociado a P mediante
u
la f´rmula
o
x=

OP
OA

(1.3)

si P se encuentra sobre la semirrecta positiva. Para un punto Q en la semirrecta negativa, la coordenada x correspondiente estar´ definida por
a
x=−

OQ
OA

(1.4)

Figura 1.5: Puntos en las semirrectas positivay negativa.
Generalmente se coloca una punta de flecha en el extremo derecho de la
semirrecta positiva, que indica el sentido positivo de la recta, en vez de los
signos + y −.
A cada n´mero real x le corresponde uno y s´lo uno de los puntos de X.
u
o
Esta asociaci´n de puntos de X y el conjunto de los n´meros reales define un
o
u
Sistema Coordenado del espacio Unidimensional constituidoprecisamente por
los puntos de X, tambi´n llamado Recta Num´rica.
e
e

Figura 1.6: Puntos en las semirrectas positiva y negativa.

´
CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION

6

Se pueden definir sobre este espacio operaciones de adici´n y sustracci´n
o
o
como:
z =x±y =

OP
OQ
±
OA
OA

(1.5)

Es decir, la adici´n o sustracci´n de dos reales se representa sobre la recta
o
o...