Vectorialcompleto

1

M.A. Malakhaltsev, J.R. Arteaga

C´alculo Vectorial

´ , 2012
Bogota

2

´Indice general
1. Curvas y superficies
1.1. Coordenadas en el plano R2 . . . . . .
1.1.1. Coordenadas cartesianas (x; y)
1.1.2. Coordenadas polares (r; θ) . . .
1.2. Coordenadas en el espacio R3 . . . . .
1.2.1. Coordenadas cil´ındricas (r; θ, z)
1.2.2. Coordenadas esf´ericas (ρ; φ; θ) .
1.3. Rectas y planos . . . . .. . . . . . . .
1.4. Superficies de revoluci´
on . . . . . . . .
1.5. Superficies Cil´ındricas . . . . . . . . .
1.6. Superficies cu´
adricas . . . . . . . . . .
1.7. Ejercicios Cap´ıtulo 1 . . . . . . . . . .

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7
7
7
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17
20
23
24
27

2. Soluciones
33
2.1. Respuestas Ejercicios Cap´ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

Cap´ıtulo 1

Curvas y superficies
1.1.
1.1.1.

Coordenadas en el plano R2
Coordenadas cartesianas (x; y)

Elplano bidimensional R2 es el conjunto de las parejas ordenadas de n´
umeros
reales,

R2 = {(x; y) | x, y ∈ R} .

(1.1)

Los elementos del conjunto R2 se llaman los puntos de R2 . Si A = (x; y) es un
punto de R2 , los n´
umeros x y y se llaman coordenadas cartesianas cartesianas
del punto A, y se escriben A(x; y).
Las rectas OX = {(x; 0) | x ∈ R} y OY = {(0; y) | y ∈ R} se llaman los ejescoordenados.
Seg´
un estas coordenadas dividiremos el plano en cuatro cuadrantes del plano
R2 a saber:
Notaci´
on
I
II
III
IV

Nombre
Primer cuadrante
Segundo cuadrante
Tercer cuadrante
Cuarto cuadrante

x
x>0
x<0
x<0
x>0
7

y
y
y
y

y
>0
>0
<0
<0

CAP´ITULO 1. CURVAS Y SUPERFICIES

8

2

II

K2

K1
III

I

1

0

K1

1

2

IV

K2

Figura 1.1: Coordenadas cartesianas y los cuadrantes

Las curvas coordenadasdel sistema de coordenadas cartesianas (x; y) son
rectas x = a y y = b, donde a y b son constantes.
La orientaci´
on positiva can´
onica del plano R2 es dado por el convenio que
la rotaci´
on m´
as corta desde el semieje positivo x hasta el semieje positivo y es
en sentido antihorario.

1.1.2.

Coordenadas polares (r; θ)

En el plano R2 fijamos un punto O y un rayo OA. Para cada punto M ∈ R2diferente del punto O tomemos una pareja ordenada de n´
umeros reales (r; θ),
donde r = |OA|, r > 0, y θ, 0 ≤ θ < 2π, es el ´angulo entre los rayos OA y OM
en sentido antihorario.
El n´
umero r se llaman el radio polar , el ´angulo θ el ´
angulo polar y la pareja
(r; θ) se llame las coordenadas polares del punto M . El punto O se llame el polo
y el rayo OA el eje polar .

M

r

θ
O

A

Figura 1.2:Coordenadas polares

Las curvas coordenadas del sistema de coordenadas polares son los circunferencias r = a y los rayos θ = b, donde a > 0 y 0 ≤ θ < 2π son constantes.
En el plano R2 hay una manera especial para elegir las coordenadas polares escogiendo el polo O = (0; 0) y el eje polar el semieje positivo OX =

1.1. COORDENADAS EN EL PLANO R2

9

{(x; 0) | x ≥ 0}. En este caso la relaci´on entrelas coordenadas cartesianas (x; y)
y las coordenadas polares (r; θ) del mismo punto es,
x = r cos θ
,
y = r sin θ

r = x2 + y 2
.
cos θ = x/r, sin θ = y/r, 0 ≤ θ < 2π.

(1.2)

Ejemplo 1.1. Hallemos las coordenadas
polares del punto A(−1; 1) ∈ R2 . Te√
2
2
nemos que r√= (−1) +√1 = 2, y el u
´nico ´angulo θ tal que 0 ≤ θ < 2π y
cos θ = −1/ 2, sin θ = 1/ 2, es θ = 3π/4 (ver Fig. 1.3).
♦
Ejemplo 1.2.Hallemos las coordenadas cartesianas del punto A ∈ R2 que tiene
las coordenadas polares (2; π/3). Entonces, para este punto el radio polar√es
r = 2 y el ´
angulo polar es θ = π/3, luego x = 2 cos π/3 = 1, y = 2 sin π/3 = 3,
y el punto es A(1; 3). (ver Fig. 1.3).
♦

Figura 1.3: Ejemplos 1.1 y 1.2
Seg´
un estas coordenadas los cuadrantes del plano R2 son:
Notaci´
on Nombre
r
θ
π
I
Primer cuadrante...