Velocidad y aceleracion

PRÁCTICA CVV-1

Funciones vectoriales.Velocidad y aceleración.

1. FUNCIONES VECTORIALES.
Una función vectorial r: ℜ→ℜ×ℜ es una función de la forma r( t ) = < x( t ), y( t ) > = x( t ) i + y( t ) j. Su gráfica es un conjunto de puntos determinados por los extremos finales de los vectores r( t ). Por ejemplo, si dibujáis la trayectoria de r( t ) = < 2cos( t ), 3sin( t ) > usando Mathematica®,obtendréis la siguiente elipse:

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PROYECTO DOCENTE: Dr. Jesús Vigo-Aguiar

Ejercicio 1: Dibujar la curva plana r( t ) = < Ln( t ), (1- t ) > en el intervalo (0,1]. Las funciones vectoriales tienen límites, derivadas e integrales definidas en términos de sus componentes. Así tenemos:

Si t representa el tiempo, entonces r’( t ) es su vector velocidad, v( t ), y r”( t ) es elvector aceleración, a( t ). Al módulo del vector velocidad || r’( t ) || = √( x’( t )2 + y’( t )2) se le conoce como rapidez. Observar que la rapidez es un escalar, mientras que la velocidad es un vector. La velocidad tiene dos componentes, una la “componente en x”, que es la velocidad en la dirección del eje de las x, x’( t ), y otra y’( t ), la “componente en y” que nos dice lo rápido que elobjeto se mueve en la dirección del eje de las y. En el gráfico anterior, dibujar el vector velocidad sobre cada uno de los puntos considerados. Obtendréis el siguiente gráfico:

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Del mismo modo podréis dibujar la aceleración a( t ). En el siguiente gráfico, he dibujado los vectores aceleración partiendo todos del mismo punto, el origen.

Ejercicio 2: Realizar lasmismas graficas de velocidad y aceleración para la curva dada en el ejercicio 1.

2. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL.
Las funciones vectoriales son de gran ayuda a la hora de derivar las trayectorias de un proyectil. Supongamos que no tenemos rozamiento con el aire, que la posición inicial en t = 0 viene dada por s( 0 ) = < 0, h >, y que la rapidez inicial viene dada por || v( 0 ) || = v0 con unángulo inicial Ø, entonces:

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PROYECTO DOCENTE: Dr. Jesús Vigo-Aguiar

! !" t# " # 0, $ g % a

! !" # " ! v t $ a!" t#!& t " # C1, $ gt ' C2 %,

donde C1 es la velocidad inicial en la dirección del eje x y C2 es la velocidad incial en el eje de las y.

! v!"0# " # v0!cos!"Ø#, v0!sin!"Ø# % ( C1 " v0!cos!"Ø# &!C2 " v0!sin!"Ø# Es decir, !!"t# " # v0!cos!"Ø#, $ gt ' v0!sin!"Ø# % vTomando v0 como hipotenusa y Ø como angulo, la velocidad inicial en el eje x es v0!cos!"Ø# y en el eje y es v0!sin!"Ø#.Por tanto,

gt2 ! !" # " ! ' " v0!sin!" Ø## !t ' C2 % s t $ v!" t#!& t " # " v0!cos!" Ø## !t ' C1, $ 2 donce C1, es la posición inicial en x, es decir 0 y C2, la posición inicial en y, es decir h. La posición en cualquier tiempo t viene dada por : gt2 ' " v0!sin!" Ø## !t ' h % . 2
!!" # " # " ! v0 cos!"Ø##!t, s t

$

Por ejemplo, lancemos un proyectil con un ángulo de π/4 radianes, con una rapidez inicial de 100m/sec. y una altura inicial de 8m. La posición en cualquier tiempo viene dada por la función s( t ) = < 100cos(π/4)t, -16t2 + 100sin(π/4)t + 8 >. La velocidad es v( t ) = < 100cos(π/4), -32t + 100sin(π/4) >. La aceleración es a( t ) = < 0, -32 >. La siguientefigura muestra la trayectoria que seguirá el proyectil.

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Para encontrar el punto donde tocará de nuevo el suelo, debéis hacer y( t ) = 0, resolverla encontrando el valor de t que produce el cero y luego hallar x( t ) para dicho valor. (en este caso os saldrá un poco más de 320m ). Ejercicio 3: Describir la trayectoria de una pelota de tenis golpeada a 1.5 metros delsuelo, con un ángulo de π/4 radianes respecto del suelo y con una velocidad de 50 m./s. ¿ Evitará la pelota una red de 2 metros de altura colocada a 75 metros de la posición de lanzamiento?. Halla el momento en que la pelota tocará de nuevo el suelo.

3. FUNCIONES VECTORIALES EN 3 DIMENSIONES.

Un ejemplo de función vectorial r: ℜ→ℜ×ℜ×ℜ es la hélice cuya ecuación viene dada por r( t ) = <...