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1. Tema 5.- ESPACIOS VECTORIALES ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIALFundamentos Matemáticosde la Ingeniería Lic. Miguel Ángel Tarazona Giraldo 1
2. Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra Lineal consistió en resolver sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas, comenzaremos este curso estudiando la estructura de espacio vectorial.Los vectores libres del plano (del espacio) pueden sumarse unos con otros (por la “ley del paralelogramo”) y multiplicarse por un número real: Pero, ¿qué es un vector libre del plano? Definimos como el conjunto de vectores con . Es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un vector de (definición algebraica de vector), y viceversa. Sin embargo, para muchas aplicacionesfísicas (incluyendo las nociones de fuerza, velocidad, aceleración y momento) es importante pensar en un vector no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud” y “dirección”.Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 2
3. Tanto en Física como en Ingeniería un vector se caracteriza por dos magnitudes (longitud y dirección) y se representa por un segmento recto dirigido. Un vector en el planopuede ubicarse en diferentes lugares. Sin embargo, con independencia de dónde esté situado, si la longitud y dirección no varían se trata del mismo vector. El conjunto de los vectores libres del plano ( ) es sólo un ejemplo entre los muchos ejemplos de objetos matemáticos que pueden sumarse entre sí y multiplicarse por números reales, y que además satisfacen unas mismas propiedades. Este ejemplode los vectores libres del plano (o el de los vectores libres del espacio) es importante porque su representación geométrica ayuda a entender la definición general de vector.Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 3
4. Algunos ejemplos que podemos mencionar son:  los propios números reales,  los números complejos,  los vectores en el plano,  los vectores en el espacio,  los polinomios degrado menor o igual que n,  las funciones reales de variable real con dominio D,  las funciones continuas en un intervalo,  las funciones derivables en un punto,  las funciones integrables en un intervalo,  ..................................... Un vector puede ser un número, una n-tupla, un polinomio, una función continua, etc.Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 4
5. También hay magnitudesfísicas de tipo vectorial con las mismas propiedades: fuerzas, velocidades, aceleraciones,.... Cuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras similares, es conveniente axiomatizar éstas y dar un nombre al ente resultante. Aunque este primer tema tiene el inconveniente de trabajar en el mundo abstracto de los espacios vectoriales arbitrarios, también presenta una gran ventaja. Laabstracción resulta ser matemáticamente eficiente en el sentido de que ahora pueden demostrarse resultados generales cuya validez afecta a todos los espacios vectoriales. Es decir, una vez que se establecen los hechos sobre los espacios vectoriales en general, se pueden aplicar estos hechos a todos los espacios vectoriales. De otro modo, habría que probar cada hecho una y otra vez, para cada nuevoespacio vectorial que nos encontráramos (y existen un sin fin de ellos).Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 5
6. En este curso, básicamente trabajaremos con cuatro espacios vectoriales. En el tema 1 definimos la estructura de espacio vectorial y trabajaremos con los espacios vectoriales siguientes:  , normalmente n=3 o n=4.  , normalmente n=2 o n=3. En el tema 2 estudiamos el espacio vectorialde las matrices reales de m filas y n columnas, que denotamos: Por último, en el tema 6 trabajaremos también con espacios vectoriales de funciones reales de variable real y continuas sobre un intervalo. A continuación, presentamos un ejemplo introductorio que proporciona una motivación para desarrollar las matemáticas subsecuentes.Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 6
7. Un poco de...