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Análisis de las medidas de una distribución
Variable aleatoria
Es una variable cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma). Una variable aleatoria (v.a.) es una función real definida en elespacio muestral asociado a un experimento aleatorio, Ω.
Varianza
es una medida de su dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.
Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviación estándar, la raíz cuadradade la varianza(note que la varianza nunca puede ser negativa), es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades.
Desviación estándar
es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.
Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviacióntípica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
Función de probabilidad
Una función de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una población en tanto especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua X tome un valor cercano a x.Una variable aleatoria X tiene densidad f, siendo f una función no-negativa integrable de Lebesgue, si:

Por lo tanto, si F es la función de distribución acumulativa de X, entonces:

y (si f es continua en x)


Intuitivamente, puede considerarse f(x) dx como la probabilidad de X de caer en el intervalo infinitesimal [x, x + dx].

Se define como el cociente entre la probabilidad de X de tomar unvalor en el intervalo [x, x + dx] y dx, siendo dx un infinitésimo.
La mayoría de las funciones de densidad de probabilidad requieren uno o más parámetros para especificarlas totalmente.
Recíprocamente respecto de la definición ya desarrollada, pueden hacerse las siguientes consideraciones.
La probabilidad de que una variable aleatoria continua X quede ubicada entre los valores a y b está dadapor el desenvolvimiento en el intervalo de la FDP; de los valores comprendidos en el rango entre a y b.

La FDP es la derivada (cuando existe) de la función de distribución:

Así, si F es la función de distribución acumulativa de X, entonces:

y (si f es continua en x)









Esperanza matemática
La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es lasuma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombre de esperanza matemática y valor esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.
Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador nipara la banca.
Ejemplos
Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?
E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €


Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara.Determinar laesperanza matemática del juego y si éste es favorable.
E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}
p(+1) = 2/4
p(+2) = 1/4
p(−5) = 1/4
E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable

Desviación estándar
La desviación estándar o desviación típica (denotada con el símbolo σ o s, dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es una medida de centralización o dispersión para...