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Probabilidad y Estad´ ıstica Elementales para Estudiantes de Ciencias
Ricardo A. Maronna Facultad de Ciencias Exactas Universidad Nacional de La Plata

Prefacio
“Es magn´fico aprender con quien no sabe.” ı Mario Benedetti: “Gracias por el Fuego” Este libro es una introducci´n a las ideas b´sicas de la Teor´ de Probabilidad y la Eso a ıa tad´ ıstica, destinado a estudiantes de CienciasExactas, Inform´tica e Ingenier´ con un a ıa, ´ buen conocimiento de An´lisis de una variable y de Algebra elemental, y algunas nociones a de An´lisis de varias variables. He procurado enfatizar la forma correcta de encarar los a problemas, ya que muchos a˜os de ense˜anza y de pr´ctica me han convencido de la inun n a tilidad de las recetas, y de que lo unico que realmente sirve es la correcta percepci´nde los ´ o problemas y de las posibles v´ de acci´n. ıas o La Teor´a de Probabilidad tiene la enga˜osa caracter´stica de que resultados intuitiı n ı vamente plausibles tienen demostraciones que requieren conocimientos avanzados de Matem´tica a (la llamada “Teor´a de la Medida”). En este libro he procurado seguir un camino intermeı dio, demostrando lo que se pueda probar a nivel elemental, eindicando los casos en que esto no es posible. Los ejercicios son una parte importante del curso: contienen ejemplos y material complementario, y, especialmente, sirven para que el lector compruebe su comprensi´n de la o teor´a, y desarrolle su habilidad para pensar correctamente por su cuenta, lo que debiera ı ser el objeto ultimo de toda ense˜anza. ´ n Este libro es el resultado de muchos a˜os deense˜ar Probabilidad y Estad´ n n ıstica, en las Universidades Nacionales de Buenos Aires y de La Plata, y en la E.S.L.A.I. (Escuela Superior Latinoamericana de Inform´tica), cuyos alumnos han contribuido con sus comentarios a –no siempre elogiosos– al mejoramiento de mis cursos. Abreviaturas: El s´mbolo “ ” se usar´ para indicar el fin de una demostraci´n. Los ı a o n´meros entre corchetes (como“[8]”) indican las referencias bibliogr´ficas al final del libro. u a Un asterisco (*) indica las secciones que se pueden omitir sin afectar la continuidad de la lectura. Dedico este libro a Susana Estela, Liliana Litvin y Rosa Wachenchauzer, que siempre me han impulsado a dar un paso m´s adelante. a La Plata, Octubre de 1995.

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Indice
I PROBABILIDAD 1
3 3 6 9 13 13 15 16 18 19 21 21 22 2427 27 29 31 34 34 36 37 40 42 45 45 46 1 Espacios de Probabilidad 1.1 Los axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Experimentos con resultados equiprobables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Probabilidad Condicional e Independencia 2.1 Relaciones entre dos eventos. . . . . . . . . . . . 2.2 Modelos basados en probabilidades condicionales 2.2.1 Un modelo para tiempos de espera . . . . 2.3 Independencia de varios eventos . . . . . . . . . . 2.4 El esquema de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . 2.5 La aproximaci´n de Poisson y sus aplicaciones . . o 2.5.1 El proceso de Poisson espacial . . . . . . . 2.5.2 El proceso de Poisson temporal . . . . . . 2.6Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Variables Aleatorias 3.1 Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Distribuciones discretas . . . . . 3.1.2 Distribuciones continuas . . . . . 3.1.3 Mezclas . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Transformaciones de variables aleatorias 3.2.1 Aplicaciones a simulaci´n . . . . o 3.3 Distribuci´n conjunta de varias variables o 3.4 Independenciade variables aleatorias . . 3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....