VI. Estructuras algebraicas(para modificar)29 abril2005

Álgebra, Tema VII, Estructuras algebraicas

VII.- ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Objetivo:
El alumno analizará y manejara las
operaciones binarias y sus propiedades dentro
de una estructura algebraica.

- la adición y la multiplicación en el conjunto de
n
- la sustracción en Z
- la división en C ≠ 0
- la adición y la sustracción de polinomios
- la adición y multiplicación en el conjunto dematrices cuadradas de orden n.

G = {α, β, γ}, podemos definir
una operación binaria ∇

Para el conjunto
En este capítulo analizaremos los
aspectos
más
relevantes
en
el
comportamiento
de
las
llamadas
OPERACIONES BINARIAS.

∇ α β
α

α β

γ

β

β β α

γ

Cuando un conjunto está provisto de un o
varias operaciones binarias, se tiene un sistema
algebraico. Dichosistema posee cierta
“estructura” que esta determinada por las
propiedades de las operaciones definidas en
el conjunto.

γ

γ β

γ

A ciertas estructuras fundamentales se les han
asignado nombres específicos como el de
“GRUPO”, “ANILLO” o “CAMPO”.

PROPIEDADES DE OPERACIONES BINARIAS

VI.1 OPERACIONES BINARIAS Y SUS
PROPIEDADES

Sea * una operación binaria definida en un
conjuntoS, y sea T un subconjunto de S. Se dice
que T es cerrado respecto a la operación * si

El concepto de operación binaria es
fundamental para el estudio de las estructuras
algebraicas.
OPERACIÓN BINARIA
Def.
Una operación binaria * definida en
un conjunto S no vacío, asigna siempre como
resultado un elemento de S, es decir
∀ a, b ∈ S

a*b∈S

Si una función asocia a dos elementos
de unconjunto S un elemento de S, entonces
es una operación binaria.
Ejemplo:
La suma de dos matrices de m x n es
otra matriz de m x n, por lo tanto la adición de
matrices es una operación binaria.

CERRADURA

∀ a, b ∈ T: a * b ∈ T
es decir que el subconjunto T es cerrado
respecto a la operación * si al aplicar dicha
operación a dos elementos cualesquiera de T se
obtiene como resultadootro elemento de T
ejemplo:

°
1 −1
1
1 −1
−1 −1 1

para la multiplicación de números complejos

{− 1,1}, {1,−1}

son subconjuntos cerrados para ∇ definida en
G:
{α, β}{α, γ}{α, β, γ} son subconjuntos cerrados.
,
,

Entre otros ejemplos de operaciones binarias
conocidas tenemos las siguientes:

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Álgebra, Tema VII, Estructuras algebraicas

ELEMENTOS IDÉNTICOS
ELEMENTOSINVERSOS
Sea * una operación binaria definida en un
conjunto S,
i)

Un elemento e ∈ S es un idéntico izquierdo
para * si
e*a=a ∀a∈S

ii)

Sea * una operación binaria definida en un
conjunto S,

Un elemento e ∈ S es un idéntico derecho
para * si
a*e=a ∀a∈S

iii) Un elemento e ∈ S es un idéntico izquierdo
para * si es idéntico izquierdo e idéntico
derecho.

i) sea
e unidéntico izquierdo para *. Un
elemento â ∈ S es un inverso izquierdo del
elemento a ∈ S para * si
â *a=e
ii) sea
e un idéntico derecho para *. Un
elemento â ∈ S es un inverso derecho del
elemento a ∈ S para * si
a*â =e

Ejemplo
Para el conjunto M de todas las matrices de m
x n con elementos en C, la matriz M es un
idéntico izquierdo ya que

iii) sea e un idéntico para *. Un elemento â ∈ Ses un inverso del elemento a ∈ S para * si
â *a=e

Im A = A, ∀ A ∈ M

 1 0  3 2 1 
0 1   4 3 2 


 mxn
y la matriz In es un idéntico derecho puesto que
A I n = A, ∀ A ∈ M

 1 0 0
 3 2 1 

 4 3 2   0 1 0

 0 0 1




El cero es un elemento idéntico para la adición
0+X=X
y
X+0=X
y el número uno lo es para la multiplicación
1*X=X
y
x*1=X

ya*â=e

Nota: para poder hablar de elementos inversos
es necesario que existan elementos idénticos
Ejemplo
- Para la adición en Q el cero es un elemento
idéntico por lo que, para dicha operación, un
inverso del número X ∈ Q es el número –X ∈ Q
(llamado su simétrico), ya que
-X + X = 0

y X + (-X) = 0

- para la multiplicación en Q, como el número
uno es un elemento idéntico, un...