VibracApu

Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires

73.06 Vibraciones de Estructuras

H. Varas
J. Loyza
A. C. Ibañez
Agosto 2001

73.06 Vibraciones de Estructuras

V I B R A C I O N E S

d e

E S T R U C T U R A S

1º parte del problema

•

La generación (causas)

Motores
Equipos Auxiliares
Hélice
Mar (olas)

Las vibraciones pueden clasificarse en perturbaciones:
§ Armónicas
§ Periódicas
§Aleatorias
Un caso particular es el ruido. Para poder controlarlo hay toda clase de normativas.

Frecuencias Perturbadoras

Modificación del diseño estructural. Fn≠Fpert
Resonancia

Frecuencias Naturales

Creación de compensadores dinámicos

Disminución de la importancia
de las perturbaciones

Eliminación o
disminución de la intensidad de la fuente
Aislamiento de la fuente de Vibraciones

Lasfrecuencias que componen la perturbación dependen de donde se generen las mismas.
Por ejemplo, para frecuencias perturbadoras, en cuanto a motores dependemos de los datos que nos
pueden facilitar los fabricantes y también de algunas tablas.
En cuanto a las frecuencias naturales, el cálculo nos lleva a los miembros estructurales. Esto se realizará
mediante las fórmulas entregadas por los registros.
A lacomparación de la frecuencia perturbadora frente a la natural lo llamamos “estudio de la
resonancia”.
Primero iremos de la estructura global para luego caer en los detalles.

2º Parte del Problema

¿Cómo reaccionan las estructuras?
Consiste en el cálculo de las frecuencias naturales de los miembros estructurales.
•
•
•

Ibañez / Loyza / Varas

Vigas
Paneles y paneles reforzados
Viga buque (cálculoaproximado)

FIUBA 2001

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Oscilador Simple
Se puede representar como un sistema Masa-Resorte
Y

∑ Fy = 0
∑ Fx = m ⋅ &x&

Ft
Fr
X
x

Con un resorte ideal,

Fr = −k ⋅ x
Estructuralmente, la constante del resorte k es la rigidez

m ⋅ &x& = Ft − k ⋅ x
x&& +

Ecuación diferencial típica

k
F
⋅x= t
m
m

Cuya solución se puede considerar como:

k
⋅x= 0
m

Solución de laHomogénea:

&x& +

Solución Particular:

x = f ( t)

Solución General:

XH
XP
XG = X H + XP

La solución propuesta por Euler:

X H 1 = c ⋅ e rt
X& H 1 = c ⋅ r ⋅ e rt
X&& H 1 = c ⋅ r 2 ⋅ e rt
Entonces:

k
e rt  r 2 +  = 0
m

Ecuación Característica

r 2 + wn2 = 0

donde

wn2 =

k
m

Entonces la pulsación natural:

Ibañez / Loyza / Varas

FIUBA 2001

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wn =

k
=2 ⋅ π ⋅ fn
m

donde

f n : frecuencia natural

Las soluciones de la ecuación característica:

r1, 2 = ± − wn2 = ± jwn
De acuerdo al teorema del Brownskiano, la solución de la homogénea es:

X H = X H1 + X H 2
X H 1 = C1 ⋅ e r1 ⋅ t
X H 2 = C 2 ⋅ e r2 ⋅t
X H = C1 ⋅ e r1 ⋅t + C 2 ⋅ e r2 ⋅t
X H = C1 ⋅ e j ⋅ wn ⋅t + C2 ⋅ e − j ⋅wn ⋅t
con:

e jα = cosα + j ⋅ senα
e − j α = cos α − j ⋅ senα
Entonces:

XH = C1 (cos wn t + j ⋅ senwn t ) + C 2 (cos wn t − j ⋅ senwn t )
X H = (C1 + C 2 ) ⋅ cos wn t + j ⋅ (C1 − C 2 ) ⋅ senwn t

Se propone como solución

A
B
− j⋅
2
2
A
B
C2 = + j ⋅
2
2
C1 =

C1 +C2 =A
C1 -C2 =-j B

X H = A ⋅ cos wn t + j ⋅ B ⋅ senwn t
Haciendo un cambio de coordenadas:

A = R ⋅ senϕ
B = R ⋅ cos ϕ

ϕ

R

A

B

Ibañez / Loyza / Varas

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X H =R ⋅ (senϕ ⋅ cos wn t + cos ϕ ⋅ senwn t )
X H = R ⋅ sen (wn t + ϕ)
Amplitud

Fase

¿De qué depende la amplitud de la fase?
En un movimiento libre, la amplitud y la fase dependen de las condiciones iniciales.
Como se verá en el dibujo, la amplitud R depende de la posición inicial del carrito y la fase depende de la
posición del carrito en el instante considerado como tiempo inicial.
Y

X

R

X H =R ⋅ sen (wn t + ϕ)

t

En el oscilador simple, el resultado de la Ecuación Característica (la raiz) es la Pulsación Natural

r1 = j ⋅ wn
r2 = − j ⋅ wn

wn : Pulsación Natural
wn = 2 ⋅ π ⋅ f n
f n : depende del sistema

r1 = j ⋅ wn
r2 = − j ⋅ wn

wn : Pulsación Natural
wn = 2 ⋅ π ⋅ f n
f n : depende del sistema

Dicho en otra forma, sin perturbación la frecuencia natural depende del sistema, o...