vibracion ferzada

VIBRACION FORZADA
Cuando un sistema es sujeto a fuerzas externas de excitación armónica, este es forzado a
vibrar a la misma frecuencia que la fuente de excitación. Entre las fuentes mas comunes
de excitación armónica podemos citar: desbalance en maquinas rotatorias, fuerzas
producidas por maquinas reciprocantes y el movimiento mismo de la maquina. Estas
fuerzas pueden ser indeseables enequipos donde se comprometa el buen
funcionamiento de la maquina o este en juego la seguridad de la estructura si se
desarrollan grandes amplitudes de oscilación. La resonancia debe ser evitada en la
mayoría de los casos y en la prevención de grandes oscilaciones se utilizan a menudo
amortiguadores y absorbedores, lo que permite un óptimo funcionamiento del sistema.

3.1 VIBRACION FORZADAARMÓNICAMENTE
La vibración forzada se encuentra a menudo en sistemas de ingeniería, es comúnmente
producida por el desbalance de maquinaria rotatoria. El entendimiento del
comportamiento de un sistema que experimenta excitación harmónica es fundamental
para comprender como responderá el sistema bajo otras formas de excitación. La
excitación armónica puede estar presente en la forma de una fuerza odesplazamiento
del algún punto en el sistema.
Consideremos un sistema de 1 G.D.L. con amortiguamiento, excitado por una fuerza
armónica Fosenωt Fig. 3.1.

Fig. 3.1.1
Del diagrama de cuerpo libre se observa que la ecuación diferencial de movimiento es:
mx + cx + kx = Fo senωt

(3.1.1)

La solución que satisface la ecuación anterior consta de dos partes, la función
complementaria, lacual es solución de la ecuación homogénea y la función particular.
La función complementaria es la que discutió en el capitulo anterior que corresponde a
vibración libre.
La solución particular de (3.1), es una oscilación de estado estable de la misma
frecuencia ω que de la fuente de excitación. Asumimos que la solución particular es de
la forma:
x = Xsen(ωt − φ )
(3.1.2)

donde X es laamplitud de oscilación y φ es el ángulo de fase del desplazamiento con
respecto a la fuerza de excitación.

1

La amplitud y fase en la ecuación anterior se obtienen de sustituir (3.1.2) en (3.1.1),
tomando en cuenta que en movimiento armónico el defasamiento entre desplazamiento,
velocidad y aceleración es de 90° y 180° respectivamente, así los términos de la
ecuación diferencial pueden sermostrados gráficamente en la Fig. 3.2

Fig. 3.1.2

Del diagrama se observa que:
X=

Fo

( k − mω ) + ( cω )
2

y

φ = tan −1

(3.1.3)

2

cω
k − mω 2

(3.1.4)

Las ecuaciones anteriores pueden ser expresadas de tal forma que posibiliten una mejor
representación grafica de los resultados. Dividimos el numerador y denominador de las
ecuaciones (3.1.3) y (3.1.4) por k, ytenemos:

X=

y

Fo
k
2

⎛ mω 2 ⎞ ⎛ cω ⎞
⎜1 −
⎟ +⎜
⎟
k ⎠ ⎝ k ⎠
⎝

(3.1.5)
2

cω
k
φ = tan −1
mω 2
1−
k

(3.1.6)

Consideremos las siguientes identidades:
k
= frecuencia natural
m
cc = 2mωn = amortiguamiento crítico
c
ζ = = factor de amortiguamiento
cc
ω
cω c ccω
=
= 2ζ
k
cc k
ωn

ωn =

Las ecuaciones (3.1.5) y (3.1.6) expresadas en forma adimensionalson:
Xk
=
F0

1
⎡ ⎛ω ⎞
⎢1 − ⎜ ⎟
ω
⎢
⎣ ⎝ n⎠

2

2

⎤ ⎡
⎥ + ⎢ 2ζ
⎥
⎦ ⎣

(3.1.7)
⎛ ω ⎞⎤
⎜ ⎟⎥
⎝ ωn ⎠ ⎦

2

2

⎛ω ⎞
2ζ ⎜ ⎟
⎝ ωn ⎠
φ = tan −1
2
⎛ω ⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ ωn ⎠

(3.1.8)

Las ecuaciones anteriores indican que la amplitud no dimensional Xk / Fo y la fase φ
son funciones de la relación de frecuencias ω / ωn y el factor de amortiguamiento ζ, los
gráficoscorrespondientes a las ecuaciones (3.1.7) y (3.1.8) son:

Fig. 3.1.3

Las curvas muestran que el amortiguamiento tiene una gran influencia sobre la amplitud
y ángulo de fase en la región de frecuencia cercana a la zona de resonancia. Un mejor
entendimiento del comportamiento de este sistema se logra mediante el estudio del
diagrama de fuerzas de la figura (3.2) en las regiones donde: ω / ωn es...