vibracion

­­VIBRACION LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO
Una vibración es el movimiento periódico de un cuerpo o de un sistema de cuerpos conectados desplazados desde una posición en equilibrio. En general, hay dos tipos de vibración: libre y forzada. La vibración libre ocurre cuando el movimiento es mantenido por fuerzas restauradoras gravitatorias o elásticas, como el movimiento oscilatorio de un péndulo o lavibración de una barra elástica. La vibración forzada proviene de una fuerza externa periódica o intermitente aplicada al sistema. Ambos tipos de vibración pueden ser amortiguadas o no amortiguada. Las vibraciones no amortiguadas pueden continuar indefinidamente debido ya que tanto las fuerzas de fricción externas como las internas están presentes el movimiento de todos los cuerpos en vibración esen realidad amortiguado.
El tipo mas simple de movimiento vibratorio es la vibración libre amortiguada la cual se representa mediante el modelo mostrado en la figura 22-1ª. El bloque tiene masa m y esta unido a un resorte con rigidez k. el movimiento vibratorio ocurre cuando el bloque es liberado desde una posición desplazada x de manera que el resorte tire de el.
El bloque alcanzara unavelocidad tal que no estará en equilibrio cuando x=0. Y si la superficie de soporte es lisa, la oscilación continuara indefinidamente.
La trayectoria de movimiento dependiente del tempo del bloque puede ser determinada aplicando la ecuación de movimiento al bloque cuando este en la posición desplazada. El diagrama de cuerpo se muestra en la figura 22-1b. la fuerza elástica restauradora F=kx estadirigida siempre hacia la posición de equilibrio mientras que la aceleración a se supone actuando en la dirección del desplazamiento positivo. Observando que a= d x/dt







Advierta que la aceleración es proporcional al desplazamiento del bloque. El movimiento descrito de esta manera se denomina movimiento armonico simple. Reordenandolos términos en una “forma estándar” obtenemos

La constante Wn es llamada frecuencia circular o frecuencia natural, expresada en rad/s. y en este caso

La ecuación 22-1 tambien puede obtenerse considerando que en el bloque esta suspendido y midiendo el desplazamiento y desde la posición de equilibrio del bloque, figura 22-2a. cuando el bloque esta en equilibrio, el resorte ejerce una fuerzahacia arriba de F=W=mg sobre el bloque. Por consiquiente, cuando el bloque es desplazado una distancia y hacia abajo desde esta posición la maginitud de la fuerza en el resorte es F=W+ky, figura 22-2b. aplicando la ecuación de movimiento resulta.


Que es la misma forma que la ecuacion 22-1 donde wn esta definida por la ecuacion 22-2. Laecuacion 22-1 es una ecuaicon diferencial, lineal, homogenea, de segundo orden con coeficientes constantes. Se pueden deostrar usando los metodos de las ecuaciones deferenciales que la solucion general es:

Donde A y B representan dos constantes de integracion. La velocidad la aceleracion del bloque son determinadas tomando derivadas sucesivascon respecto al tiempo lo que resulta en


Cuando las ecuaicones 22-3 y 22-5 son sustituidas en la ecuación 22-1, la ecuación diferencial esta efectivamente satisfecha, mostrando que la ecuación 22-3 es la solución de la ecuación 22-1. Las constantes de integración A y B en la ecuación 22-3 generalmente son determinadas a partir de las condiciones iniciales del problema. Por ejemplo, supongaque el bloque en la figura 22-1 a ha sido desplazado una distancia x1 hacia la derecha desde su posición de equilibrio y se le ha dado una velocidad inicial v1 (positiva) dirigida hacia la derecha. Sustituyendo x=x1 en 1=0 en la ecuación 22.3 se obtiene B=x1. Como v=v1 en t=0, usando la ecuación 22-4 obtenemos A=v 1/wn. Si estos valores son sustitutos en la ecuación 22-3, la ecuación que...