Vibraciones Amortiguadas

VIBRACIONES AMORTIGUADAS

El análisis de vibraciones considerado basta ahora no ha incluido los efectos de fricción o amortiguamiento en el sistema y en consecuencialas soluciones obtenidas son sólo aproximaciones del movimiento real. Como todas las vibraciones desaparecen con el tiempo la presencia de fuerzas amortiguadoras debe incluirse en el análisis.
En muchos casos. el amortiguamiento esatribuido a la resistencia creadapor la sustancia, digamos agua. aceite o aire, en que vibra el sistema.Si el cuerpo se mueve lentamente a través de la sustancia. la resistenciaal movimiento es directamente proporcional a la rapidez del cuerpo. Eltipo de fuerza desarrollada bajo esas condiciones se llama fuerza de amortiguamiento viscoso . la magnitud de esta fuerza es expresada por
una ecuaciónde la forma:
(1)

Donde la constante e se llama coeficieme de amortiguamiento viscoso y tiene unidades de N.s/m o lb.s/pie.
El movimiento vibratorio de un cuerpo o sistema con amortiguamiento viscoso puede ser caracterizado por el bloque y el resorte mostrados en la figura a. El efecto de amortiguamiento es proporcionado mediante el amortiguador conectado al bloque en un ladoderecho. El amortiguamiento ocurre cuando el pistón P se mueve a la derecha o a la izquierda.

Dentro del cilindro cerrado, el cilindro contiene un fluido. y el movimiento del pistón se retarda ya que el fluido debe fluir alrededor o a través de un pequeño orificio localizado en el pistón. Se supone que el amortiguador tiene un coeficiente c de amortiguamiento viscoso.
Si el bloque es desplazadouna distancia x desde su posición de equilibrio. el diagrama de cuerpo libre resultante se muestra en la figura b tanto la fuerza del resorte kx como la fuerza de amortiguamiento cx se oponen al movimiento hacia delante del bloque. por Lo que al aplicar la ecuación de movimiento resulta:

O bien
(2)
Esta ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden tiene soluctones de laforma:

donde e es la base de los logaritmos naturales y λ es una constante. El valor de λ se puede obtener sustituyendo esta solución en la ecuación (2), lo cual resulta en:

o bien

Como eλt nunca es cero. es posible encontrar una solución siempre que :

Por consiguiente, medianle la fórmula cuadrática. los dos valores de λ son:

(3)

La solución general de la ecuación (2) es,por tanto. una combinación lineal de funciones exponenciales que contienen estas dos raíces. Existen tres combinaciones posibles de λ1 y λ2 que deben ser consideradas. Sin embargo. antes de estudiarlas. definiremos primero el coeficieme de amortiguamiento critico cc como el valor de c que vuelve al radical presente en las ecuaciones (3) igual a cero: es decir,

O bien

(4)

Aquí elvalor de es la frecuencia natural .

Sistema sobreamortiguado: Cuando c > cc, ambas raíces λ1 y λ2 son reales. La solución general de la ecuación (2) puede escribirse como:
(5)
El movimiento correspondiente a esta solución no es vibratorio. El efecto del amortiguamiento es tan fuerte que cuando el bloque es desplazado y liberado. simplemente regresa a su posición riginal sinoscilar. El sistema se llama sobreamortiguado.

Sistema amortiguado críticamente Si c = cc. entonces λ1 = λ2 = - cc/2m = - ωn . Esta situación se conoce como amortiguamiento critico, ya que representa una condición donde e tiene el mínimo valor necesario para que el sistema no vibre. Usando los métodos de las ecuaciones diferenciales, se puede mostrar que la solución de la ecuación 22-27 para elamortiguamiento crftico es:
(6)
Sistema amortiguado críticamente Muy a menudo c < cc en cuyo caso al sistema se le llama subamortiguado. En esta circunstancia.las raíces λ1 y λ2 son números complejos y se puede mostrar que la solución general de la ecuación (2) puede escribirse como:

(7)

donde D y son constantes generalmente determinadas a partir de las condiciones...